什麼是 Kummer 函數 M(a,b,z)？
第一類合流超幾何函數記為 \(M(a,b,z)\) 或 \({}_1F_1(a;b;z)\)，是 Kummer 微分方程式 \(z\cdot y'' + (b - z)\cdot y' - a\cdot y = 0\) 的兩個獨立解之一。它在物理與應用數學中無所不在——舉凡量子力學（徑向庫侖波函數）、機率論（非中心卡方分布及相關分布）、熱傳導，以及貝索函數的表示式都會用到。本計算器可針對實數參數 \(a\)、\(b\) 與實數引數 \(z\) 進行求值。這是一個純數學工具，不涉及任何地區或單位上的假設。
使用方式
輸入第一個參數 \(a\)、第二個參數 \(b\) 以及引數 \(z\)，即可讀取 \(M(a,b,z)\) 的數值。其中 \(b\) 不得為零或負整數，否則會使分母為零；遇到這類輸入時，計算器會標示為無效。若 \(a\) 為非正整數，級數會自動截斷，\(M\) 便化簡為 \(z\) 的多項式——這是正確的結果，並非錯誤。
公式說明
此級數求和項為 \(\frac{(a)_n}{(b)_n}\cdot\frac{z^{\,n}}{n!}\)，其中 Pochhammer 符號 \((x)_n = x(x+1)\cdots(x+n-1)\)。$$M(a,b,z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(b)_n}\,\frac{z^{\,n}}{n!}$$計算器並非分別計算階乘與上升階乘，而是由前一項遞推出下一項：$$t_{n+1} = t_n \cdot \frac{a+n}{b+n} \cdot \frac{z}{n+1}$$由 \(t_0 = 1\) 開始。當新項相對於累加總和已可忽略（約 \(1\mathrm{e}{-17}\)）或達到安全的迭代上限時，求和便停止。
範例演算
當 \(a = 2\)、\(b = 3\)、\(z = 0.5\) 時：各項依序為 \(1\)、\(0.33333\)、\(0.0625\)、\(0.0083333\)、\(0.00086806\)、\(0.000074405\)、\(\ldots\)，加總後得 \(M(2,3,0.5) \approx 1.4051145\)。
常見問題
M(a,b,0) 等於多少？無論 \(a\) 與 \(b\) 為何，結果恆為 \(1\)，因為第一項之後的每一項都含有 \(z\) 這個因子。
為什麼 b 有限制？當 \(b\) 為零或負整數時，Pochhammer 分母 \((b)_n\) 會變成零，函數在該處便無定義。
對於較大的 z 是否準確？此級數對所有有限的 \(z\) 都收斂，但較大的正值 \(z\) 會造成相消誤差，侵蝕雙精度的準確度；建議將 \(|z|\) 控制在適中範圍（大致低於 \(50\)）以確保有效位數可靠。
