¿Qué es la función de Kummer M(a,b,z)?
La función hipergeométrica confluente de primera especie, escrita como \(M(a,b,z)\) o \({}_1F_1(a;b;z)\), es una de las dos soluciones independientes de la ecuación diferencial de Kummer \(z\cdot y'' + (b - z)\cdot y' - a\cdot y = 0\). Aparece por toda la física y la matemática aplicada: en la mecánica cuántica (la función de onda radial de Coulomb), en la teoría de la probabilidad (la distribución chi-cuadrado no central y otras relacionadas), en la conducción del calor y en las representaciones mediante funciones de Bessel. Esta calculadora la evalúa para parámetros reales \(a\) y \(b\) y un argumento real \(z\). Es una herramienta puramente matemática, sin supuestos regionales ni de unidades.
Cómo usarla
Introduce el primer parámetro \(a\), el segundo parámetro \(b\) y el argumento \(z\), y obtendrás directamente \(M(a,b,z)\). El valor de \(b\) no puede ser cero ni un entero negativo, ya que en esos casos un denominador se anula; la calculadora marca esas entradas como no válidas. Si \(a\) es un entero no positivo, la serie se trunca y \(M\) se reduce a un polinomio en \(z\), lo cual es un comportamiento correcto y no un error.
La fórmula al detalle
La serie suma los términos $$M(a,b,z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(b)_n}\,\frac{z^{\,n}}{n!}$$ donde el símbolo de Pochhammer \((x)_n = x(x+1)\cdots(x+n-1)\). En lugar de calcular por separado los factoriales y los factoriales ascendentes, la calculadora construye cada término a partir del anterior con $$t_{n+1} = t_n \cdot \frac{a+n}{b+n} \cdot \frac{z}{n+1}$$ partiendo de \(t_0 = 1\). La suma se detiene cuando un nuevo término resulta despreciable frente al total acumulado (en torno a \(1\mathrm{e}{-17}\)) o al alcanzar un límite de iteraciones seguro.
Ejemplo resuelto
Para \(a = 2\), \(b = 3\), \(z = 0{,}5\): los términos son \(1,\ 0{,}33333,\ 0{,}0625,\ 0{,}0083333,\ 0{,}00086806,\ 0{,}000074405,\ \ldots\) que suman $$M(2,3,0.5) \approx 1{,}4051145.$$
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale \(M(a,b,0)\)? Siempre exactamente 1, para cualquier \(a\) y \(b\), ya que todos los términos posteriores al primero contienen un factor \(z\).
¿Por qué se restringe el valor de \(b\)? Un \(b\) igual a cero o a un entero negativo hace que el denominador de Pochhammer \((b)_n\) se anule, por lo que la función no está definida ahí.
¿Es precisa para valores grandes de \(z\)? La serie converge para todo \(z\) finito, pero un \(z\) positivo grande provoca cancelaciones que degradan la doble precisión; mantén \(|z|\) en valores moderados (aproximadamente por debajo de 50) para obtener cifras fiables.
