¿Qué es el ortocentro?
El ortocentro de un triángulo es el punto único donde se cortan sus tres alturas. Una altura es la recta que va desde un vértice de forma perpendicular al lado opuesto (prolongado si hace falta). Como dos alturas cualesquiera ya determinan ese punto, esta calculadora localiza el ortocentro intersecando solo dos de ellas. El ortocentro puede quedar dentro del triángulo (triángulo acutángulo), justo sobre un vértice (triángulo rectángulo) o fuera de él (triángulo obtusángulo).
Cómo usar esta calculadora
Introduce las coordenadas x e y de los tres vértices A, B y C. Pulsa calcular y obtendrás las coordenadas del ortocentro \(H = (x, y)\). Las coordenadas pueden ser negativas o decimales. Si los tres puntos están alineados (son colineales), no forman un triángulo, por lo que el ortocentro se indica como indefinido.
La fórmula explicada
La altura desde A es perpendicular al lado BC, cuyo vector director es \((x_C - x_B,\ y_C - y_B)\). Una recta que pasa por A y es perpendicular a un lado se describe mediante la ecuación del producto escalar $$(x_C - x_B)(x - x_A) + (y_C - y_B)(y - y_A) = 0.$$ Si escribimos la misma ecuación para la altura desde B (perpendicular a AC), obtenemos un sistema lineal 2×2 que resolvemos con la regla de Cramer. Usar la forma del producto escalar en lugar de las pendientes evita la división por cero cuando un lado es vertical, así que se contempla cualquier triángulo válido.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(A(0, 0)\), \(B(4, 0)\), \(C(1, 3)\). El lado BC tiene dirección \((-3, 3)\), así que la altura desde A es \(-3x + 3y = 0\), es decir, \(y = x\). El lado AC tiene dirección \((1, 3)\), por lo que la altura desde B es $$x + 3y = (1)(4) + (3)(0) = 4.$$ Al sustituir \(y = x\) obtenemos \(x + 3x = 4\), \(x = 1\), \(y = 1\). El ortocentro es \((1, 1)\).
Preguntas frecuentes
¿Puede estar el ortocentro fuera del triángulo? Sí: en los triángulos obtusángulos cae fuera del triángulo.
¿Dónde está el ortocentro de un triángulo rectángulo? Exactamente en el vértice del ángulo recto.
¿Qué pasa si mis puntos están en línea recta? No forman un triángulo, por lo que las alturas son paralelas y el ortocentro queda indefinido.
