수심이란 무엇인가요?
삼각형의 수심(垂心)은 세 개의 수선이 한 점에서 만나는 교점을 말합니다. 수선이란 한 꼭짓점에서 마주 보는 변(필요하면 연장한 변)에 수직으로 내린 직선입니다. 두 수선만으로도 교점이 정해지기 때문에, 이 계산기는 세 수선 중 두 개의 교점을 구해 수심을 찾습니다. 수심은 삼각형 내부(예각삼각형), 꼭짓점 위(직각삼각형), 또는 삼각형 바깥(둔각삼각형)에 위치할 수 있습니다.
계산기 사용 방법
세 꼭짓점 A, B, C의 x, y 좌표를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 수심 좌표 \(H = (x, y)\)가 나옵니다. 좌표는 음수나 소수도 입력할 수 있습니다. 세 점이 한 직선 위에 있으면 삼각형이 만들어지지 않으므로, 수심은 정의되지 않음으로 표시됩니다.
공식 풀이
꼭짓점 A에서 내린 수선은 변 BC에 수직이며, 변 BC의 방향 벡터는 \((x_C - x_B,\ y_C - y_B)\)입니다. 한 변에 수직이면서 A를 지나는 직선은 내적(점곱) 방정식 $$(x_C - x_B)(x - x_A) + (y_C - y_B)(y - y_A) = 0$$ 으로 나타낼 수 있습니다. 같은 방식으로 B에서 내린 수선(AC에 수직)의 방정식을 세우면 2×2 일차 연립방정식이 되고, 이를 크라메르 공식(Cramer's rule)으로 풉니다. 기울기 대신 내적 형태를 사용하면 변이 수직일 때도 0으로 나누는 문제가 생기지 않아, 모든 정상적인 삼각형을 처리할 수 있습니다.
예제 풀이
A(0, 0), B(4, 0), C(1, 3)을 예로 들어 보겠습니다. 변 BC의 방향은 \((-3, 3)\)이므로 A에서 내린 수선은 \(-3x + 3y = 0\), 즉 \(y = x\) 입니다. 변 AC의 방향은 \((1, 3)\)이므로 B에서 내린 수선은 $$x + 3y = (1)(4) + (3)(0) = 4$$ 입니다. 여기에 \(y = x\)를 대입하면 \(x + 3x = 4\), \(x = 1\), \(y = 1\) 이 됩니다. 따라서 수심은 \((1, 1)\)입니다.
자주 묻는 질문
수심이 삼각형 바깥에 있을 수도 있나요? 네 — 둔각삼각형에서는 수심이 삼각형 바깥에 위치합니다.
직각삼각형의 수심은 어디에 있나요? 바로 직각을 이루는 꼭짓점에 있습니다.
점들이 한 직선 위에 있으면 어떻게 되나요? 삼각형이 만들어지지 않으므로 수선들이 서로 평행해지고, 수심은 정의되지 않습니다.
