ऑर्थोसेंटर कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

A — x

A — y

B — x

B — y

C — x

C — y

परिणाम

ऑर्थोसेंटर (H)

(1, 1)

तीनों शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु

ऑर्थोसेंटर x	1
ऑर्थोसेंटर y	1

ऑर्थोसेंटर (लंबकेंद्र) क्या होता है?

किसी त्रिभुज का ऑर्थोसेंटर वह एकमात्र बिंदु है जहाँ उसके तीनों शीर्षलंब (altitudes) आपस में मिलते हैं। शीर्षलंब वह रेखा है जो किसी शीर्ष से खींची जाती है और सामने वाली भुजा पर लंब होती है (ज़रूरत पड़ने पर भुजा को बढ़ाकर)। चूँकि कोई भी दो शीर्षलंब मिलकर यह बिंदु तय कर देते हैं, इसलिए यह कैलकुलेटर सिर्फ़ दो शीर्षलंबों को प्रतिच्छेदित करके ही ऑर्थोसेंटर निकाल लेता है। ऑर्थोसेंटर त्रिभुज के अंदर हो सकता है (न्यूनकोण त्रिभुज में), ठीक किसी शीर्ष पर हो सकता है (समकोण त्रिभुज में), या त्रिभुज के बाहर भी (अधिककोण त्रिभुज में)।

लंबकेंद्र वह बिंदु है जहाँ त्रिभुज की तीनों ऊँचाइयाँ मिलती हैं।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

तीनों शीर्षों A, B और C के x तथा y निर्देशांक दर्ज करें। "Calculate" दबाते ही आपको ऑर्थोसेंटर के निर्देशांक \(H = (x,\ y)\) मिल जाएँगे। निर्देशांक ऋणात्मक या दशमलव भी हो सकते हैं। अगर तीनों बिंदु एक ही सरल रेखा में हों, तो वे त्रिभुज नहीं बनाते, इसलिए ऑर्थोसेंटर "अपरिभाषित (undefined)" बताया जाएगा।

सूत्र की व्याख्या

A से खींचा गया शीर्षलंब भुजा BC पर लंब होता है, जिसका दिशा-सदिश \((x_C-x_B,\ y_C-y_B)\) है। किसी भुजा पर लंब और A से गुज़रने वाली रेखा को डॉट-गुणनफल समीकरण से दर्शाया जाता है:

$$(x_C-x_B)(x-x_A) + (y_C-y_B)(y-y_A) = 0$$

B से खींचे गए शीर्षलंब (जो AC पर लंब है) के लिए भी यही समीकरण लिखने पर हमें एक 2×2 रैखिक समीकरण-समूह मिलता है, जिसे हम क्रैमर के नियम (Cramer's rule) से हल करते हैं। ढाल (slope) के बजाय डॉट-गुणनफल वाला रूप इस्तेमाल करने से तब भी शून्य से भाग की समस्या नहीं आती जब कोई भुजा ऊर्ध्वाधर हो — इसलिए हर वैध त्रिभुज सही ढंग से हल हो जाता है।

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हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(A(0,\ 0)\), \(B(4,\ 0)\), \(C(1,\ 3)\)। भुजा BC की दिशा \((-3,\ 3)\) है, इसलिए A से शीर्षलंब है \(-3x + 3y = 0\), यानी \(y = x\)। भुजा AC की दिशा \((1,\ 3)\) है, इसलिए B से शीर्षलंब है

$$x + 3y = (1)(4) + (3)(0) = 4$$

इसमें \(y = x\) रखने पर \(x + 3x = 4\), यानी \(x = 1\), \(y = 1\)। अतः ऑर्थोसेंटर \((1,\ 1)\) है।

शीर्षों के निर्देशांक आलेखित करने से आप xy-तल पर लंबकेंद्र का पता लगा सकते हैं।

सामान्य प्रश्न (FAQ)

क्या ऑर्थोसेंटर त्रिभुज के बाहर हो सकता है? हाँ — अधिककोण त्रिभुजों में यह त्रिभुज के बाहर पड़ता है।

समकोण त्रिभुज का ऑर्थोसेंटर कहाँ होता है? ठीक उस शीर्ष पर जहाँ समकोण (90°) बनता है।

अगर मेरे बिंदु एक सीधी रेखा में हों तो? तब वे त्रिभुज नहीं बनाते, इसलिए शीर्षलंब समानांतर हो जाते हैं और ऑर्थोसेंटर अपरिभाषित रहता है।