वृत्तीय खंड क्या होता है?
वृत्तीय खंड (circular segment) किसी वृत्त का वह भाग होता है जिसे एक सीधी रेखा यानी जीवा (chord) से "काट" दिया जाता है। यह जीवा और उसके सामने बने चाप के बीच का क्षेत्र होता है। यह कैलकुलेटर वृत्त की त्रिज्या और जीवा द्वारा बनाए गए केंद्रीय कोण से इस क्षेत्रफल को निकालता है, और साथ ही चाप की लंबाई, जीवा की लंबाई तथा सैजिटा (खंड की अधिकतम ऊँचाई) भी बताता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वृत्त की त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ दर्ज करें। चुनें कि आपका कोण डिग्री में है या रेडियन में। कैलकुलेटर सूत्र लगाने से पहले डिग्री को अपने आप रेडियन में बदल देता है। "कैलकुलेट करें" दबाएँ और खंड का क्षेत्रफल, चाप की लंबाई, जीवा की लंबाई तथा खंड की ऊँचाई देखें।
सूत्र की व्याख्या
खंड का क्षेत्रफल इस सूत्र से मिलता है:
$$A = \tfrac{1}{2}\,r^{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$यहाँ θ रेडियन में होना चाहिए। पद \(\tfrac{1}{2}\,r^{2}\theta\) वृत्तीय त्रिज्यखंड (pie slice यानी सेक्टर) का क्षेत्रफल है, और \(\tfrac{1}{2}\,r^{2}\sin\theta\) उन दोनों त्रिज्याओं तथा जीवा से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है। सेक्टर में से त्रिभुज घटाने पर सिर्फ़ खंड का क्षेत्रफल बचता है। डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए \(\pi/180\) से गुणा करें।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(r = 5\) और \(\theta = 90^\circ\)। बदलें: $$\theta = 90 \times \frac{\pi}{180} = 1.570796 \text{ रेडियन}$$ फिर \(\sin\theta = \sin(90^\circ) = 1\)। तो $$A = 0.5 \times 25 \times (1.570796 - 1) = 0.5 \times 25 \times 0.570796 = 7.13495 \text{ वर्ग इकाई}$$ जीवा की लंबाई \(2 \times 5 \times \sin(45^\circ) \approx 7.0711\) है, और सैजिटा \(5 \times (1 - \cos 45^\circ) \approx 1.4645\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या कोण और चाप एक ही चीज़ हैं? केंद्रीय कोण θ वृत्त के केंद्र पर, जीवा के दोनों सिरों तक जाने वाली दो त्रिज्याओं के बीच मापा जाता है। चाप की लंबाई \(r\cdot\theta\) के बराबर होती है (θ रेडियन में)।
अगर मेरा कोण 180° से ज़्यादा हो तो? यह सूत्र θ के 360° (\(2\pi\)) तक भी काम करता है। जब \(\theta > 180^\circ\) होता है, तो यह बड़े "मुख्य" (major) खंड का क्षेत्रफल देता है।
उत्तर किस इकाई में आता है? क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में आता है जिसमें आपकी त्रिज्या है — अगर \(r\) सेंटीमीटर (cm) में है, तो क्षेत्रफल cm² में होगा।
