Qu'est-ce qu'un segment circulaire ?
Un segment circulaire est la portion d'un disque « découpée » par une droite, autrement dit une corde. Il s'agit de la surface comprise entre la corde et l'arc qu'elle sous-tend. Ce calculateur détermine cette aire à partir du rayon du cercle et de l'angle au centre que sous-tend la corde. Il fournit également la longueur de l'arc, la longueur de la corde et la flèche (la hauteur maximale du segment).
Comment utiliser le calculateur
Saisissez le rayon r du cercle ainsi que l'angle au centre θ. Indiquez si votre angle est exprimé en degrés ou en radians : le calculateur convertit automatiquement les degrés en radians avant d'appliquer la formule. Lancez le calcul pour obtenir l'aire du segment, accompagnée de la longueur d'arc, de la longueur de la corde et de la hauteur du segment.
La formule expliquée
L'aire du segment se calcule ainsi :
$$A = \frac{1}{2}\,r^{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$
Ici, \(\theta\) doit être exprimé en radians. Le terme \(\frac{1}{2}\,r^{2}\theta\) correspond à l'aire du secteur circulaire (la « part de tarte »), tandis que \(\frac{1}{2}\,r^{2}\sin\theta\) représente l'aire du triangle formé par les deux rayons et la corde. En soustrayant ce triangle au secteur, il ne reste que le segment. Pour passer des degrés aux radians, multipliez par \(\frac{\pi}{180}\).
Exemple concret
Prenons \(r = 5\) et \(\theta = 90°\). Conversion : $$\theta = 90 \times \frac{\pi}{180} = 1{,}570796 \text{ rad}$$ On a alors \(\sin\theta = \sin(90°) = 1\). D'où $$A = 0{,}5 \times 25 \times (1{,}570796 - 1) = 0{,}5 \times 25 \times 0{,}570796 = 7{,}13495 \text{ unités carrées}$$ La longueur de la corde vaut \(2 \times 5 \times \sin(45°) \approx 7{,}0711\), et la flèche est égale à \(5 \times (1 - \cos 45°) \approx 1{,}4645\).
FAQ
L'angle correspond-il à l'arc ? L'angle au centre \(\theta\) se mesure au centre du cercle, entre les deux rayons reliés aux extrémités de la corde. La longueur de l'arc, elle, est égale à \(r\cdot\theta\) (\(\theta\) en radians).
Et si mon angle dépasse 180° ? La formule reste valable pour \(\theta\) allant jusqu'à 360° (\(2\pi\)) : lorsque \(\theta > 180°\), elle donne l'aire du « grand » segment (segment majeur).
Dans quelle unité s'exprime le résultat ? L'aire est exprimée dans l'unité carrée correspondant à celle du rayon : si \(r\) est en cm, l'aire est en cm².
