Qu'est-ce qu'un segment circulaire ?
Un segment circulaire est la zone « en forme d'arc » d'un cercle, délimitée par une corde droite et l'arc qu'elle découpe. On le décrit à l'aide de deux grandeurs faciles à mesurer : la longueur de la corde c (la base droite) et la hauteur h, aussi appelée flèche, qui correspond à la plus grande distance entre le milieu de la corde et l'arc. À partir de c et de h, ce calculateur fournit l'aire du segment S, l'angle au centre sous-tendu par l'arc (en radians et en degrés), la longueur d'arc L et le rayon r du cercle d'origine.
Comment l'utiliser
Saisissez la longueur de la corde et la hauteur du segment dans une unité de longueur cohérente, peu importe laquelle (mètres, pouces, pixels — à vous de choisir). Toutes les longueurs renvoyées (L et r) le sont dans cette même unité, l'aire S dans cette unité au carré, et les angles en radians comme en degrés. La hauteur h doit être strictement supérieure à zéro.
Les formules expliquées
On commence par retrouver le rayon grâce à la relation de la corde \(c = 2\sqrt{h(2r - h)}\), qui se réécrit sous la forme classique de la flèche :
$$r = \frac{h}{2} + \frac{c^{2}}{8h}$$L'angle au centre vaut alors
$$\theta = 2\cdot\cos^{-1}\!\left(1 - \frac{h}{r}\right)$$la longueur d'arc est \(L = r\cdot\theta\), et l'aire du segment est
$$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\sqrt{h(2r - h)}$$Comme \(\sqrt{h(2r - h)}\) est égal à \(c/2\), on peut aussi écrire l'aire sous la forme
$$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\frac{c}{2}$$
Exemple résolu
Pour \(c = 1{,}2\) et \(h = 0{,}5\) : \(r = 0{,}25 + 1{,}44/4 = 0{,}61\). Ensuite \(1 - h/r = 0{,}180328\), donc \(\theta = 2\cdot\arccos(0{,}180328) = 2{,}778906 \text{ rad} = 159{,}22°\). La longueur d'arc vaut \(L = 0{,}61 \times 2{,}778906 = 1{,}695133\). Comme \(\sqrt{0{,}5\cdot 0{,}72} = 0{,}6\), l'aire est \(S = 1{,}389453\cdot 0{,}3721 - 0{,}11\cdot 0{,}6 = 0{,}516916 - 0{,}066 = \mathbf{0{,}450916}\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si h est égal à r ? Le segment est exactement un demi-cercle et \(\theta = \pi\) (180°).
h peut-il dépasser r ? Oui — le segment est alors plus grand qu'un demi-cercle. La formule reste valable tant que \(h \le 2r\) ; pour \(h = 2r\), on obtient le cercle entier (\(\theta = 2\pi\)).
Quelles unités utiliser ? N'importe quelle unité de longueur, à condition de rester cohérent. Le résultat en hérite tout simplement (longueur, longueur au carré et angle).
