Qu'est-ce qu'une permutation en collier ?
Une permutation en collier (en japonais « juzu junretsu », ou permutation du chapelet) dénombre les façons distinctes de disposer n objets différents autour d'un cercle, lorsque deux dispositions sont considérées comme identiques si l'on peut passer de l'une à l'autre par une rotation du cercle OU en retournant le collier tout entier (symétrie). Cela diffère de la permutation circulaire (« en junretsu »), qui ne tient compte que des rotations. Il s'agit d'un résultat universel de combinatoire : la formule est la même partout.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez une valeur de départ et une valeur de fin pour \(n\) (chacune comprise entre 1 et 100), choisissez une précision d'affichage en chiffres significatifs, et l'outil affiche une ligne par entier \(n\) de cette plage, accompagnée de son nombre de permutations en collier. Comme ces nombres croissent de façon factorielle, les grandes valeurs apparaissent en notation scientifique, arrondies au nombre de chiffres significatifs que vous avez choisi, tandis que les valeurs qui tiennent exactement sont affichées en entier.
La formule expliquée
Partons des \(n!\) ordonnancements linéaires de \(n\) objets distincts. En les plaçant en cercle, les \(n\) rotations d'un même ordonnancement deviennent identiques ; on divise donc par \(n\) pour obtenir les permutations circulaires : \(n!/n = (n-1)!\). Un collier peut en outre être retourné, ce qui associe chaque disposition à son image miroir : on divise alors par 2 supplémentaire, d'où
$$N(n) = \dfrac{(n-1)!}{2}, \quad n = \text{Start } n \;\ldots\; \text{End } n$$Pour \(n = 1\) ou \(n = 2\), cela ne donnerait pas un nombre entier ; par convention, on attribue donc exactement 1 disposition à chacun.
Exemple détaillé
Pour la plage \(n = 3\) à \(8\) : \(n=3\) donne \((3-1)!/2 = 2/2 = 1\) ; \(n=4\) donne \(6/2 = 3\) ; \(n=5\) donne \(24/2 = 12\) ; \(n=6\) donne \(120/2 = 60\) ; \(n=7\) donne \(720/2 = 360\) ; \(n=8\) donne \(5040/2 = 2520\). Au sommet de la plage par défaut, \(n=30\) donne
$$29!/2 = 4\,420\,880\,996\,869\,850\,977\,271\,808\,000\,000 \approx 4{,}42 \times 10^{30}$$soit environ \(4{,}42 \times 10^{30}\).
FAQ
Pourquoi diviser par 2 ? Le 2 élimine la symétrie de réflexion : un collier paraît identique une fois retourné, si bien que les versions horaire et antihoraire d'un même ordre cyclique ne sont comptées qu'une seule fois.
Pourquoi n=1 et n=2 sont-ils des cas particuliers ? La formule générale donne 0,5 dans les deux cas, ce qui n'est pas un décompte valide ; géométriquement, il n'existe qu'une seule façon de disposer un ou deux objets, on indique donc 1.
Quelle différence avec les permutations circulaires ? Les permutations circulaires comptent à rotation près uniquement et valent \((n-1)!\) ; les permutations en collier autorisent en plus la réflexion et valent \((n-1)!/2\) pour \(n \geq 3\).
