什麼是項鍊排列？
項鍊排列（日文稱「数珠順列」，又譯念珠排列）計算的是：把 \(n\) 個相異物件排成一個圓圈時，有多少種「本質上不同」的排法。只要其中一種排法可以透過旋轉圓圈，或是把整條項鍊翻面（鏡像反射）變成另一種，就視為同一種。這一點和「圓排列」（日文「円順列」）不同——圓排列只把旋轉視為相同，並不考慮翻面。這是普遍適用的組合數學結果，公式在任何地方都一樣，與國家或地區無關。
如何使用本計算器
輸入 \(n\) 的起始值與結束值（皆介於 1 到 100 之間），再選擇顯示精度（有效位數），工具就會針對範圍內的每個整數 \(n\) 各列出一列，並顯示對應的項鍊排列數。由於數值會以階乘速度急遽成長，較大的結果會以科學記號表示，並依你選定的有效位數四捨五入；能夠完整呈現的數值則會原樣列出。
公式解析
先從 \(n\) 個相異物件的所有 \(n!\) 種「直線排列」出發。把它們排成圓圈後，任一排法的 \(n\) 種旋轉結果都相同，因此除以 \(n\)，得到圓排列數： $$N(n) = \frac{n!}{n} = (n-1)!$$ 而項鍊還可以翻面，使每一種排法都與其鏡像配成一對，因此再除以 2，得到項鍊排列數 $$N(n) = \frac{(n-1)!}{2}, \quad n = \text{Start } n \;\ldots\; \text{End } n$$ 當 \(n = 1\) 或 \(n = 2\) 時，這個算式不會是整數，所以依慣例規定各為 1 種排法。
實際範例
以 \(n = 3\) 到 \(8\) 為例： $$n=3 \Rightarrow \frac{(3-1)!}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$n=4 \Rightarrow \frac{6}{2} = 3$$ $$n=5 \Rightarrow \frac{24}{2} = 12$$ $$n=6 \Rightarrow \frac{120}{2} = 60$$ $$n=7 \Rightarrow \frac{720}{2} = 360$$ $$n=8 \Rightarrow \frac{5040}{2} = 2520$$ 在預設範圍的上限處，\(n=30\) 為 $$\frac{29!}{2} = 4{,}420{,}880{,}996{,}869{,}850{,}977{,}271{,}808{,}000{,}000 \approx 4.42 \times 10^{30}$$
常見問題
為什麼要除以 2？這個 2 是用來消除翻面（鏡像）的對稱性：項鍊翻面後看起來一模一樣，因此同一個循環順序的「順時針」與「逆時針」版本只算一次。
為什麼 n=1 與 n=2 是特例？一般公式對這兩者都會算出 \(0.5\)，而 \(0.5\) 不是合理的排法數；從幾何上看，一個或兩個物件都只有一種排法，所以我們將結果記為 1。
它和圓排列有什麼差別？圓排列只把旋轉視為相同，其值為 \((n-1)!\)；項鍊排列則進一步允許翻面（鏡像），當 \(n \geq 3\) 時其值為 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\)。
