Hoán vị vòng cổ là gì?
Hoán vị vòng cổ (trong tiếng Nhật gọi là "juzu junretsu", tức hoán vị chuỗi tràng hạt) đếm số cách sắp xếp khác nhau của n vật thể phân biệt quanh một vòng tròn, trong đó hai cách sắp xếp được xem là giống nhau nếu có thể biến cái này thành cái kia bằng cách quay vòng tròn HOẶC lật úp toàn bộ vòng cổ (phép phản chiếu). Điều này khác với hoán vị tròn ("en junretsu"), vốn chỉ coi các phép quay là tương đương. Đây là một kết quả tổ hợp mang tính phổ quát — công thức như nhau ở mọi nơi.
Cách sử dụng công cụ
Hãy nhập giá trị bắt đầu và giá trị kết thúc cho \(n\) (mỗi giá trị nằm trong khoảng từ 1 đến 100), chọn độ chính xác hiển thị theo số chữ số có nghĩa, và công cụ sẽ in ra mỗi dòng cho một số nguyên \(n\) trong khoảng đó cùng số hoán vị vòng cổ tương ứng. Vì các kết quả tăng theo giai thừa nên những giá trị lớn được hiển thị dưới dạng ký hiệu khoa học, làm tròn theo số chữ số có nghĩa bạn đã chọn, còn những giá trị vừa khít sẽ được hiển thị đầy đủ.
Giải thích công thức
Hãy bắt đầu với toàn bộ \(n!\) cách sắp xếp tuyến tính của \(n\) vật thể phân biệt. Khi đặt chúng thành vòng tròn, \(n\) phép quay của bất kỳ cách sắp xếp nào đều trở nên giống hệt nhau, nên ta chia cho \(n\) để được hoán vị tròn: \(n!/n = (n-1)!\). Một chiếc vòng cổ còn có thể được lật úp, ghép mỗi cách sắp xếp với ảnh phản chiếu của nó, nên ta chia tiếp cho 2:
$$N(n) = \dfrac{(n-1)!}{2}, \quad n = \text{Start } n \;\ldots\; \text{End } n$$Với \(n = 1\) hoặc \(n = 2\), kết quả sẽ không phải số nguyên, vì vậy theo quy ước mỗi trường hợp được tính đúng 1 cách sắp xếp.
Ví dụ minh họa
Với khoảng \(n = 3\) đến 8: n=3 cho \((3-1)!/2 = 2/2 = 1\); n=4 cho \(6/2 = 3\); n=5 cho \(24/2 = 12\); n=6 cho \(120/2 = 60\); n=7 cho \(720/2 = 360\); n=8 cho \(5040/2 = 2520\). Ở đầu cao của khoảng mặc định, n=30 cho \(29!/2 = 4{.}420{.}880{.}996{.}869{.}850{.}977{.}271{.}808{.}000{.}000\), tức xấp xỉ \(4{,}42 \times 10^{30}\).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao phải chia cho 2? Số 2 loại bỏ tính đối xứng phản chiếu: một chiếc vòng cổ trông giống nhau khi lật úp, nên phiên bản theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ của cùng một thứ tự vòng chỉ được đếm một lần.
Vì sao n=1 và n=2 là trường hợp đặc biệt? Công thức tổng quát cho ra 0,5 ở cả hai trường hợp, vốn không phải một số đếm hợp lệ; về mặt hình học, chỉ có duy nhất một cách sắp xếp một hoặc hai vật thể, nên ta ghi nhận là 1.
Khác biệt so với hoán vị tròn là gì? Hoán vị tròn chỉ đếm theo phép quay và bằng \((n-1)!\); hoán vị vòng cổ còn cho phép thêm phép phản chiếu và bằng \((n-1)!/2\) với \(n \geq 3\).
