Kolye permütasyonu nedir?
Kolye permütasyonu (Japoncada "juzu junretsu" yani tespih permütasyonu olarak da bilinir), n farklı nesneyi bir daire üzerinde kaç farklı şekilde dizebileceğimizi sayar; ancak burada iki diziliş, biri daireyi döndürerek VEYA tüm kolyeyi ters çevirerek (yansıma) diğerine dönüştürülebiliyorsa aynı kabul edilir. Bu, yalnızca döndürmeleri eşdeğer sayan dairesel permütasyondan ("en junretsu") farklıdır. Söz konusu sonuç evrensel bir kombinatorik kuralıdır; formül her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
n için bir başlangıç ve bir bitiş değeri girin (her biri 1 ile 100 arasında olmalı), gösterim hassasiyetini anlamlı basamak cinsinden seçin; araç bu aralıktaki her tam sayı n için bir satır oluşturarak ilgili kolye permütasyonu sayısını yazdırır. Sayılar faktöriyel hızla büyüdüğünden, büyük değerler seçtiğiniz anlamlı basamak sayısına yuvarlanarak bilimsel gösterimle, tam olarak sığan değerler ise olduğu gibi gösterilir.
Formülün açıklaması
n farklı nesnenin tüm n! doğrusal sıralanışıyla başlayın. Bunları bir dairenin üzerine yerleştirdiğinizde, herhangi bir sıralanışın n adet dönüşü birbirinin aynısı olur; dolayısıyla dairesel permütasyonu elde etmek için n'e bölersiniz: \(n!/n = (n-1)!\). Bir kolye ayrıca ters çevrilebilir; bu da her dizilişi kendi ayna görüntüsüyle eşleştirir; bu yüzden bir kez daha 2'ye bölersiniz: kolye permütasyonu \(= (n-1)!/2\). \(n = 1\) veya \(n = 2\) için bu işlem tam sayı vermez, bu nedenle kabul gereği her biri tam olarak 1 diziliş sayılır.
$$N(n) = \dfrac{(n-1)!}{2}, \quad n = \text{Start } n \;\ldots\; \text{End } n$$
Çözümlü örnek
n = 3 ile 8 aralığı için: n=3 için \((3-1)!/2 = 2/2 = 1\); n=4 için \(6/2 = 3\); n=5 için \(24/2 = 12\); n=6 için \(120/2 = 60\); n=7 için \(720/2 = 360\); n=8 için \(5040/2 = 2520\). Varsayılan aralığın üst ucunda n=30 için \(29!/2 = 4.420.880.996.869.850.977.271.808.000.000\) olur; bu da yaklaşık \(4{,}42 \times 10^{30}\) demektir.
Sık sorulan sorular
Neden 2'ye bölüyoruz? 2'ye bölmek yansıma simetrisini ortadan kaldırır: bir kolye ters çevrildiğinde aynı görünür; bu nedenle aynı döngüsel sıralamanın saat yönü ve saat yönünün tersi hâlleri tek bir diziliş olarak sayılır.
n=1 ve n=2 neden özel? Genel formül her ikisi için de \(0{,}5\) verir ki bu geçerli bir sayı değildir; geometrik olarak bir ya da iki nesneyi dizmenin tek bir yolu olduğu için sonucu 1 olarak alırız.
Dairesel permütasyondan farkı nedir? Dairesel permütasyon yalnızca döndürmeye göre sayar ve \((n-1)!\) değerine eşittir; kolye permütasyonu ise ek olarak yansımaya da izin verir ve \(n \geq 3\) için \((n-1)!/2\) değerine eşittir.
