Hadamard çarpımı nedir?
Aynı boyutlara sahip iki A ve B matrisinin Hadamard çarpımı (eleman bazlı çarpım, terim terim çarpım veya Schur çarpımı olarak da bilinir), her terimi A ve B matrislerindeki karşılık gelen terimlerin çarpımına eşit olan C matrisidir. \(C = A \circ B\) şeklinde gösterilir. Burada en kritik nokta şudur: Bu işlem alışılmış matris çarpımı değildir; bir iç indeks üzerinden toplama yapılmaz, yalnızca terimler birebir çarpılır.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Her iki matrisin de ortak olarak sahip olduğu satır sayısını (\(j\)) ve sütun sayısını (\(k\)) belirleyin. A Matrisi ile B Matrisini girin; her satırı ayrı bir satıra yazın ve değerleri boşluk veya virgülle ayırın. Daha fazla ya da daha az ondalık görmek isterseniz bir gösterim hassasiyeti (anlamlı basamak) seçin. Her iki matris de tam olarak \(j\) satır ve \(k\) sütundan oluşmalıdır — boyutları farklıysa Hadamard çarpımı tanımsızdır ve araç bir hata mesajı verir.
Formülün açıklaması
Her \(j\) satır indeksi ve \(k\) sütun indeksi için sonuç $$\left(A \circ B\right)_{jk} = a_{jk} \cdot b_{jk}, \quad j = 1 \ldots \text{Rows}, \; k = 1 \ldots \text{Cols}$$ olur. Çıktı matrisi C, girdilerle aynı \(j \times k\) boyutunu korur. İşlem değişmelidir (\(A \circ B = B \circ A\)) ve birleşmelidir; birim eleman ise tüm terimleri 1 olan matristir. Terimler sıfır ve negatifler de dahil herhangi bir gerçek sayı olabilir; sıfırla çarpmak yalnızca sıfır verir ve bölme işlemi içermediğinden sıfıra bölme riski yoktur.
Çözümlü örnek
\(A = [[1, 2], [3, 4]]\) ve \(B = [[5, 6], [7, 8]]\) olsun. Terim terim çarptığımızda \(c_{11} = 1 \times 5 = 5\), \(c_{12} = 2 \times 6 = 12\), \(c_{21} = 3 \times 7 = 21\), \(c_{22} = 4 \times 8 = 32\) elde ederiz; yani \(C = [[5, 12], [21, 32]]\). Buna karşılık, alışılmış matris çarpımı \(A \cdot B\) sonucu \([[19, 22], [43, 50]]\) olurdu — gördüğünüz gibi belirgin biçimde farklı; bu da aracın eleman bazlı çalıştığını doğruluyor.
Sıkça sorulan sorular
Vektörler ve skalerler için de çalışır mı? Evet. A ve B aynı boyutu paylaştığı sürece satır vektörleri (\(1 \times k\)), sütun vektörleri (\(j \times 1\)) ve skalerler (\(1 \times 1\)) için de çalışır.
A ve B farklı boyutlardaysa ne olur? Hadamard çarpımı tanımsız hâle gelir; mutlaka aynı boyutlardaki matrisleri kullanmanız gerekir. Araç, boyut uyuşmazlığını uyarı olarak gösterir.
Hassasiyet menüsü ne işe yarar? Yalnızca kaç anlamlı basamağın gösterileceğini değiştirir. Bu bir biçimlendirme tercihidir ve arka plandaki hesaplamayı etkilemez.
