Hadamard प्रोडक्ट क्या है?
एक ही आयाम (dimensions) वाले दो मैट्रिक्स A और B का Hadamard प्रोडक्ट (जिसे element-wise प्रोडक्ट, entrywise प्रोडक्ट या Schur प्रोडक्ट भी कहा जाता है) वह मैट्रिक्स C होता है जिसका हर अवयव A और B के संगत अवयवों के गुणनफल के बराबर होता है। इसे \(C = A \circ B\) लिखा जाता है। ध्यान दें — यह सामान्य मैट्रिक्स गुणन नहीं है: यहाँ किसी आंतरिक सूचकांक (inner index) पर योग नहीं किया जाता, बस सीधा अवयव-दर-अवयव गुणा होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
दोनों मैट्रिक्स में समान रहने वाली पंक्तियों (j) और स्तंभों (k) की संख्या तय करें। मैट्रिक्स A और मैट्रिक्स B दर्ज करें — हर पंक्ति को एक नई लाइन में रखें, और मानों को स्पेस या कॉमा से अलग करें। यदि आप कम या ज़्यादा दशमलव अंक देखना चाहते हैं तो प्रदर्शन परिशुद्धता (significant digits) चुन लें। दोनों मैट्रिक्स में ठीक j पंक्तियाँ और k स्तंभ होने ही चाहिए — यदि उनके आकार अलग-अलग हुए तो Hadamard प्रोडक्ट अपरिभाषित होता है और कैलकुलेटर एक त्रुटि दिखाता है।
सूत्र की व्याख्या
हर पंक्ति सूचकांक j और स्तंभ सूचकांक k के लिए परिणाम होता है
$$\left(A \circ B\right)_{jk} = a_{jk} \cdot b_{jk}, \quad j = 1 \ldots \text{Rows}, \; k = 1 \ldots \text{Cols}$$परिणामी मैट्रिक्स C इनपुट जैसा ही \(j \times k\) आकार बनाए रखता है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय (commutative) है (\(A \circ B = B \circ A\)) और साहचर्य (associative) भी, तथा इसका तत्समक अवयव (identity element) पूरी तरह एक से भरा मैट्रिक्स है। अवयव कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं — शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ भी; शून्य से गुणा करने पर बस शून्य मिलता है, और चूँकि यहाँ कोई भाग (division) नहीं होता, इसलिए शून्य से भाग का कोई जोखिम नहीं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(A = [[1, 2], [3, 4]]\) और \(B = [[5, 6], [7, 8]]\)। अवयव-दर-अवयव गुणा करने पर \(c_{11} = 1 \times 5 = 5\), \(c_{12} = 2 \times 6 = 12\), \(c_{21} = 3 \times 7 = 21\), \(c_{22} = 4 \times 8 = 32\) मिलता है, यानी \(C = [[5, 12], [21, 32]]\)। इसके विपरीत, सामान्य मैट्रिक्स गुणनफल \(A \cdot B\) होता \([[19, 22], [43, 50]]\) — जो साफ़ तौर पर अलग है, यही पुष्टि करता है कि यह उपकरण element-wise काम करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह वेक्टर और स्केलर के लिए भी काम करता है? हाँ। पंक्ति वेक्टर (\(1 \times k\)), स्तंभ वेक्टर (\(j \times 1\)) और स्केलर (\(1 \times 1\)) सभी काम करते हैं, बशर्ते A और B का आकार एक जैसा हो।
अगर A और B के आकार अलग-अलग हों तो? तब Hadamard प्रोडक्ट अपरिभाषित होता है; आपको समान आयाम वाले मैट्रिक्स ही इस्तेमाल करने होंगे। कैलकुलेटर आकार के बेमेल होने पर चेतावनी दिखाता है।
परिशुद्धता ड्रॉपडाउन क्या करता है? यह सिर्फ़ यह बदलता है कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाए जाएँ। यह केवल प्रदर्शन का विकल्प है और मूल गणना को बिल्कुल नहीं बदलता।
