यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल रैखिक बीजगणित (linear algebra) के मानक नियमों के अनुसार दो मैट्रिक्स का गुणनफल C = A·B या C = B·A निकालता है। यह वर्ग मैट्रिक्स, आयताकार मैट्रिक्स, पंक्ति सदिश (row vector) और स्तंभ सदिश (column vector) — सभी पर समान रूप से काम करता है। मैट्रिक्स गुणन एक सार्वभौमिक गणित है, इसलिए इसके परिणाम हर जगह एक जैसे रहते हैं — न कोई इकाई, न कोई देश-विशेष नियम।
इसका उपयोग कैसे करें
मैट्रिक्स A और मैट्रिक्स B को टेक्स्ट के रूप में दर्ज करें। पंक्तियों को सेमीकोलन (;) से और एक पंक्ति के भीतर के अंकों को कॉमा (,) से अलग करें। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स [[1,2],[3,4]] को इस तरह टाइप किया जाता है: 1,2;3,4। अब गुणन का क्रम चुनें: A × B = C या B × A = C (दोनों आमतौर पर अलग-अलग होते हैं)। गणना करें पर क्लिक करते ही आपको गुणनफल मैट्रिक्स, उसकी विमाएँ (dimensions) और ऊपर-बाएँ का तत्व दिख जाएगा।
सूत्र की व्याख्या
गुणनफल M·N = C के लिए, जहाँ M की विमा \(r \times s\) और N की विमा \(s \times t\) है, हर तत्व इस तरह निकलता है: $$c_{ik} = \sum_{j} m_{ij}\,n_{jk}$$ सीधे शब्दों में, परिणाम की पंक्ति i और स्तंभ k का तत्व, बाएँ मैट्रिक्स की पंक्ति i और दाएँ मैट्रिक्स के स्तंभ k का डॉट गुणनफल (dot product) होता है। गुणनफल तभी संभव है जब भीतरी विमाएँ मेल खाएँ — यानी बाएँ मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या, दाएँ मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए A = [[1,2],[3,4]] और B = [[5,6],[7,8]], क्रम A × B। यहाँ भीतरी विमाएँ 2 = 2 हैं, इसलिए परिणाम \(2 \times 2\) का होगा। $$c_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$$ $$c_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$$ $$c_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$$ $$c_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$$ जिससे C = [[19,22],[43,50]] प्राप्त होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
गुणनफल कभी-कभी अपरिभाषित क्यों होता है? यदि बाएँ मैट्रिक्स के स्तंभ, दाएँ मैट्रिक्स की पंक्तियों के बराबर नहीं हैं, तो कोई गुणनफल मौजूद नहीं होता और कैलकुलेटर इस बेमेल की सूचना दे देता है।
क्या A·B और B·A एक समान होते हैं? नहीं। मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय (commutative) नहीं होता; कई बार एक क्रम परिभाषित होता है जबकि दूसरा नहीं। सही क्रम चुनने के लिए क्रम चयनकर्ता का उपयोग करें।
क्या मैं सदिशों (vectors) को गुणा कर सकता हूँ? हाँ। एक \(1 \times n\) पंक्ति को \(n \times 1\) स्तंभ से गुणा करने पर \(1 \times 1\) का अदिश (scalar) मिलता है; जबकि उल्टा क्रम \(n \times n\) मैट्रिक्स देता है।
