ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة حاصل ضرب مصفوفتين، أي \(C = A\cdot B\) أو \(C = B\cdot A\)، وفق القواعد المعيارية للجبر الخطي. وهي تعمل مع المصفوفات المربعة والمستطيلة، ومع المتجهات الصفية والعمودية على حدٍّ سواء. ضرب المصفوفات رياضيات كونية لا تتغيّر، لذا تنطبق النتائج بالطريقة نفسها في كل مكان دون وحدات قياس أو خصوصية بلد معيّن.
كيفية الاستخدام
أدخل المصفوفة A والمصفوفة B على هيئة نص. افصل بين الصفوف بفاصلة منقوطة، وبين عناصر الصف الواحد بفاصلة عادية. على سبيل المثال، تُكتب المصفوفة [[1,2],[3,4]] هكذا: 1,2;3,4. اختر ترتيب الضرب: A × B = C أو B × A = C (والترتيبان مختلفان في العادة). ثم اضغط على زر الحساب لتظهر مصفوفة الناتج مع أبعادها وعنصرها الواقع في أعلى اليسار.
شرح القانون
في حاصل الضرب \(M\cdot N = C\)، حيث أبعاد M هي \(r \times s\) وأبعاد N هي \(s \times t\)، يُحسب كل عنصر بالعلاقة $$c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} m_{ij}\,n_{jk}$$ على القيم \(j\). وبعبارة أبسط: العنصر الواقع في الصف \(i\) والعمود \(k\) من الناتج هو الجداء النقطي (الضرب القياسي) للصف \(i\) من المصفوفة اليسرى مع العمود \(k\) من المصفوفة اليمنى. ولا يوجد حاصل ضرب إلا إذا تطابقت الأبعاد الداخلية، أي يجب أن يساوي عدد أعمدة المصفوفة اليسرى عدد صفوف المصفوفة اليمنى.
مثال محلول
لتكن A = [[1,2],[3,4]] وَ B = [[5,6],[7,8]]، بالترتيب A × B. الأبعاد الداخلية هي \(2 = 2\)، إذن يكون الناتج بأبعاد \(2 \times 2\). ونحسب: $$c_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$$ $$c_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$$ $$c_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$$ $$c_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$$ فيكون C = [[19,22],[43,50]].
الأسئلة الشائعة
لماذا يكون حاصل الضرب غير معرّف أحيانًا؟ إذا لم يساوِ عدد أعمدة المصفوفة اليسرى عدد صفوف المصفوفة اليمنى، فلا يوجد حاصل ضرب، وعندها تُنبّهك الحاسبة إلى عدم التوافق.
هل A.B تساوي B.A؟ لا. ضرب المصفوفات غير تبديلي؛ بل قد يكون أحد الترتيبين معرّفًا والآخر غير معرّف. استخدم محدِّد الترتيب للاختيار بينهما.
هل يمكنني ضرب المتجهات؟ نعم. ضرب متجه صفي بأبعاد \(1 \times n\) في متجه عمودي بأبعاد \(n \times 1\) يعطي قيمة عددية (سلميّة) بأبعاد \(1 \times 1\)، بينما يعطي الترتيب المعكوس مصفوفة بأبعاد \(n \times n\).
