Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule le produit de deux matrices, \(C = A\cdot B\) ou \(C = B\cdot A\), en appliquant les règles classiques de l'algèbre linéaire. Il fonctionne aussi bien avec les matrices carrées qu'avec les matrices rectangulaires, les vecteurs ligne et les vecteurs colonne. La multiplication matricielle relève des mathématiques universelles : les résultats sont donc valables partout à l'identique, sans unités ni réglementation propre à un pays.
Comment l'utiliser
Saisissez la matrice A et la matrice B sous forme de texte. Séparez les lignes par un point-virgule et les cellules d'une même ligne par une virgule. Par exemple, la matrice [[1,2],[3,4]] s'écrit 1,2;3,4. Choisissez l'ordre de multiplication : A × B = C ou B × A = C (les deux donnent généralement des résultats différents). Cliquez sur Calculer pour afficher la matrice produit, ses dimensions et son élément en haut à gauche.
La formule expliquée
Pour un produit \(M\cdot N = C\) où M est de taille \(r \times s\) et N de taille \(s \times t\), chaque coefficient vaut
$$\left(\mathbf{A}\,\mathbf{B}\right)_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,b_{jk}$$Autrement dit, l'élément situé à la ligne i et à la colonne k du résultat est le produit scalaire de la ligne i de la matrice de gauche par la colonne k de la matrice de droite. Le produit n'existe que si les dimensions intérieures coïncident : le nombre de colonnes de la matrice de gauche doit être égal au nombre de lignes de la matrice de droite.
Exemple concret
Soit A = [[1,2],[3,4]] et B = [[5,6],[7,8]], dans l'ordre A × B. Les dimensions intérieures valent \(2 = 2\), le résultat est donc une matrice \(2 \times 2\).
$$c_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$$$$c_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$$$$c_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$$$$c_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$$ce qui donne C = [[19,22],[43,50]].
Questions fréquentes
Pourquoi le produit est-il parfois indéfini ? Si le nombre de colonnes de la matrice de gauche ne correspond pas au nombre de lignes de la matrice de droite, aucun produit n'existe et le calculateur signale l'incompatibilité.
A·B est-il égal à B·A ? Non. La multiplication matricielle n'est pas commutative ; il arrive même qu'un ordre soit défini et l'autre non. Utilisez le sélecteur d'ordre pour faire votre choix.
Puis-je multiplier des vecteurs ? Oui. Une ligne \(1 \times n\) multipliée par une colonne \(n \times 1\) donne un scalaire \(1 \times 1\) ; dans l'autre sens, on obtient une matrice \(n \times n\).
