Qu'est-ce que le produit de Hadamard ?
Le produit de Hadamard (aussi appelé produit terme à terme, produit élément par élément ou produit de Schur) de deux matrices A et B de mêmes dimensions est la matrice C dont chaque terme est le produit des termes correspondants de A et de B. On le note \(C = A \circ B\). Point essentiel : il ne s'agit pas de la multiplication matricielle classique. Aucune somme sur un indice interne n'intervient, on effectue simplement une multiplication directe, terme par terme.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez le nombre de lignes (\(j\)) et de colonnes (\(k\)) communs aux deux matrices. Saisissez la matrice A et la matrice B, une ligne par ligne, en séparant les valeurs par des espaces ou des virgules. Choisissez une précision d'affichage (nombre de chiffres significatifs) si vous souhaitez afficher plus ou moins de décimales. Les deux matrices doivent comporter exactement \(j\) lignes et \(k\) colonnes : si leurs dimensions diffèrent, le produit de Hadamard n'est pas défini et le calculateur renvoie une erreur.
La formule expliquée
Pour chaque indice de ligne \(j\) et de colonne \(k\), le résultat vaut $$\left(A \circ B\right)_{jk} = a_{jk} \cdot b_{jk}, \quad j = 1 \ldots \text{Rows}, \; k = 1 \ldots \text{Cols}$$ La matrice résultat C conserve la même taille \(j \times k\) que les matrices saisies. L'opération est commutative (\(A \circ B = B \circ A\)) et associative, et son élément neutre est la matrice ne contenant que des 1. Les termes peuvent être des réels quelconques, y compris le zéro et les nombres négatifs : multiplier par zéro donne simplement zéro, et comme il n'y a aucune division, il n'existe aucun risque de division par zéro.
Exemple détaillé
Soit \(A = [[1, 2], [3, 4]]\) et \(B = [[5, 6], [7, 8]]\). En multipliant terme à terme, on obtient \(c_{11} = 1 \times 5 = 5\), \(c_{12} = 2 \times 6 = 12\), \(c_{21} = 3 \times 7 = 21\) et \(c_{22} = 4 \times 8 = 32\), soit \(C = [[5, 12], [21, 32]]\). En comparaison, le produit matriciel ordinaire \(A \cdot B\) donnerait \([[19, 22], [43, 50]]\) : un résultat nettement différent, qui confirme bien que cet outil travaille terme à terme.
FAQ
Fonctionne-t-il avec les vecteurs et les scalaires ? Oui. Les vecteurs lignes (\(1 \times k\)), les vecteurs colonnes (\(j \times 1\)) et les scalaires (\(1 \times 1\)) fonctionnent tous, du moment que A et B ont la même taille.
Que se passe-t-il si A et B ont des tailles différentes ? Le produit de Hadamard n'est pas défini : il faut utiliser des matrices de dimensions identiques. Le calculateur signale alors l'incompatibilité.
À quoi sert le menu de précision ? Il modifie uniquement le nombre de chiffres significatifs affichés. C'est un choix de présentation qui n'altère en rien le calcul effectué.
