Calculateur de dérivée seconde de la fonction sigmoïde

Résultats

Dérivée seconde s''_a(x)

-0,057557

sans unité

Sigmoïde s_a(x)	0,622459
Dérivée première s'_a(x)	0,235004
Dérivée seconde s''_a(x)	-0,057557

Ce que fait ce calculateur

Cet outil évalue la dérivée seconde de la sigmoïde logistique paramétrée par un gain, notée $\sigma''_a(x)$, en un point $x$ pour un gain $a$ choisi (le paramètre de pente, souvent appelé alpha). La sigmoïde logistique compte parmi les fonctions d'activation les plus courantes dans les réseaux de neurones et les modèles statistiques, et ses dérivées interviennent partout dans l'apprentissage par descente de gradient et l'analyse de courbure.

Les formules

La sigmoïde de gain $a$ s'écrit $$\sigma_a(x) = \frac{1}{1+e^{-a\,x}}.$$ Sa dérivée première vaut $$\sigma'_a(x) = a\,\sigma(1-\sigma),$$ et sa dérivée seconde $$\sigma''_a(x) = a^{2}\,\sigma(1-\sigma)(1-2\sigma),$$ où $\sigma = \sigma_a(x)$. Comme tout s'exprime en fonction de $\sigma$, le calculateur commence par calculer $\sigma$, puis le réutilise pour les deux dérivées. Le dénominateur $1 + e^{-a\,x}$ est toujours positif : aucun risque de division par zéro.

Sigmoid curve with its first derivative bell and second derivative wave aligned on the same x-axis — The sigmoid (top), its first derivative (bell), and its second derivative (S-shaped wave crossing zero at the center).

Mode d'emploi

Saisissez le gain $a$ (valeur par défaut 1) et le point d'évaluation $x$ (valeur par défaut 0,5), puis lisez la valeur de la sigmoïde, sa dérivée première et, en résultat principal, la dérivée seconde. Pour repérer le point d'inflexion, notez que $\sigma''_a(x) = 0$ exactement là où $\sigma = 0{,}5$, ce qui se produit en $x = 0$ quel que soit le gain.

Exemple détaillé

Avec $a = 1$ et $x = 0{,}5$ : $e^{-0{,}5} = 0{,}606531$, donc $$\sigma = \frac{1}{1{,}606531} = 0{,}622459.$$ On a alors $1 - \sigma = 0{,}377541$ et $$\sigma' = 1 \cdot 0{,}622459 \cdot 0{,}377541 = 0{,}235004.$$ Enfin, $1 - 2\sigma = -0{,}244919$, ce qui donne $$\sigma'' = 1 \cdot 0{,}235004 \cdot (-0{,}244919) = -0{,}057557.$$

Second derivative wave with positive peak, zero crossing at center, negative trough, and one marked evaluation point — Evaluating s''_a(x): the curve peaks, crosses zero at the sigmoid's center, then troughs.

FAQ

À quoi sert le gain $a$ ? Il règle la raideur de la sigmoïde : plus $a$ est grand, plus la transition est nette. En fixant $a = 0$, on obtient $\sigma = 0{,}5$ partout, donc les deux dérivées sont nulles.

Où la dérivée seconde s'annule-t-elle ? En $x = 0$, le point d'inflexion, là où la sigmoïde passe de convexe à concave.

Le calcul est-il numériquement stable ? Oui — pour $a\,x$ négatif, le calculateur emploie la forme équivalente $\frac{e^{a\,x}}{1 + e^{a\,x}}$ afin d'éviter tout dépassement exponentiel.

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