À quoi sert ce calculateur
Cet outil évalue la dérivée seconde de la fonction tangente hyperbolique, \(\tanh''(x)\), pour n'importe quel nombre réel \(x\). La tangente hyperbolique, \(f(x) = \tanh(x)\), est une fonction régulière en forme de S, comprise entre -1 et 1. Elle est très utilisée comme fonction d'activation dans les réseaux de neurones : ses dérivées première et seconde sont donc essentielles pour comprendre la propagation du gradient et la courbure. En plus du résultat principal, le calculateur affiche également \(\tanh(x)\) ainsi que sa dérivée première \(\tanh'(x)\).
Comment l'utiliser
Saisissez n'importe quelle valeur réelle de \(x\) — positive, négative ou nulle — et le calculateur renvoie trois nombres : \(\tanh(x)\), sa dérivée première \(\tanh'(x)\) et sa dérivée seconde \(\tanh''(x)\). Aucune unité n'est nécessaire, car \(x\) et tous les résultats sont sans dimension.
La formule expliquée
À partir de \(f(x) = \tanh(x)\), la dérivée première vaut \(f'(x) = 1 - \tanh^{2}(x)\), ce qui équivaut aussi à \(\operatorname{sech}^{2}(x)\). En dérivant une nouvelle fois à l'aide de la règle de dérivation en chaîne, on obtient $$f''(x) = -2\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right).$$ De façon équivalente, \(f''(x) = -2\tanh(x)\operatorname{sech}^{2}(x)\). Le calcul utilise directement \(t = \tanh(x)\), une approche numériquement stable même pour de grandes valeurs de \(|x|\), qui évite toute division par zéro puisque \(e^{x} + e^{-x}\) est toujours au moins égal à 2.
Exemple résolu (x = 0,5)
\(\tanh(0{,}5) = 0{,}4621172\). On a alors $$f'(0{,}5) = 1 - 0{,}4621172^{2} = 0{,}7864477,$$ et $$f''(0{,}5) = -2 \times 0{,}4621172 \times 0{,}7864477 = -0{,}7270051.$$ La dérivée seconde est ici négative parce que \(x\) est positif.
FAQ
Pourquoi tanh''(0) est-il nul ? En \(x = 0\), \(\tanh(0) = 0\) ; le facteur \(\tanh(x)\) présent dans la formule rend donc l'expression entière nulle. La fonction \(f''\) est impaire, c'est-à-dire que \(f''(-x) = -f''(x)\).
Que se passe-t-il pour de très grandes valeurs de x ? \(\tanh(x)\) sature vers \(+1\) ou \(-1\), si bien que la dérivée première et la dérivée seconde tendent toutes deux vers 0. C'est le phénomène de « disparition du gradient » (vanishing gradient), important dans les réseaux de neurones profonds.
La dérivée seconde est-elle parfois non définie ? Non. tanh est une fonction régulière sur l'ensemble des réels : ses dérivées existent donc partout.
