À quoi sert ce calculateur
Cet outil résout numériquement une équation différentielle ordinaire (EDO) du second ordre de la forme \(y'' = F(x,\,y,\,y')\) sur un intervalle \([x_0,\,x_n]\), à l'aide de la méthode classique de Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4). Il vous suffit de saisir le second membre \(F\) sous forme d'expression mathématique en \(x\), \(y\) et \(p\) (où \(p\) désigne \(y'\)), les conditions initiales \(y(x_0)\) et \(y'(x_0)\), les bornes de l'intervalle et le nombre de pas. Le calculateur renvoie un tableau complet des valeurs de \(x\), \(y\) et \(y'\), ainsi que les valeurs aux bornes. Il relève de l'analyse numérique pure et s'applique de façon universelle, quel que soit le pays.
Mode d'emploi
Saisissez \(F(x,\,y,\,p)\) — par exemple -4*p - 4*y pour \(y'' + 4y' + 4y = 0\). Renseignez \(x_0\), \(y_0 = f(x_0)\) et \(p_0 = y'(x_0)\). Indiquez la borne finale \(x_n\) et choisissez le nombre de sous-intervalles \(n\) (plus \(n\) est grand, plus le pas $$h = \frac{\text{xn} - \text{x0}}{\text{n}}$$ est petit et plus la précision est élevée). Définissez enfin le nombre de chiffres significatifs à afficher. L'erreur globale de RK4 est en \(O(h^4)\) : doubler \(n\) divise donc l'erreur par environ 16.
La formule expliquée
On ramène une EDO du second ordre à un système de deux équations du premier ordre en posant \(p = y'\) : on a alors \(y' = p\) et \(p' = F(x,\,y,\,p)\). À chaque pas, RK4 fait progresser les deux inconnues à l'aide de quatre évaluations pondérées des pentes (\(k\) pour \(y\), \(j\) pour \(p\)), combinées sous la forme \(\frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6}\) et \(\frac{j_1 + 2j_2 + 2j_3 + j_4}{6}\).
Exemple détaillé
Prenons \(y'' = -4p - 4y\) avec \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(p_0 = 1\), \(x_n = 1\) et un seul pas grossier (\(n = 1\), \(h = 1\)). Les quatre étapes donnent \(k_1 = 1\), \(k_2 = -1\), \(k_3 = 2\), \(k_4 = -5\) et \(j_1 = -4\), \(j_2 = 2\), \(j_3 = -6\), \(j_4 = 12\). On obtient alors $$y(1) = \frac{1 - 2 + 4 - 5}{6} = -\frac{1}{3} = -0{,}3333$$ et $$p(1) = 1 + \frac{-4 + 4 - 12 + 12}{6} = 1.$$ La solution exacte est \(y = x\,e^{-2x}\), soit \(y(1) = e^{-2} = 0{,}1353\) : un unique pas géant de \(h = 1\) est beaucoup trop grossier. Avec \(n = 50\) ou \(n = 100\), le résultat converge exactement vers la valeur exacte.
FAQ
Puis-je intégrer à rebours ? Oui : posez \(x_n\) inférieur à \(x_0\) et le pas \(h\) devient négatif, ce qui revient à intégrer de \(x_0\) vers \(x_n\).
Pourquoi mon résultat semble-t-il faux avec peu de pas ? La précision de RK4 dépend d'un pas suffisamment petit. Augmentez \(n\) jusqu'à ce que les résultats successifs cessent de varier.
Quelles fonctions \(F\) peut-elle contenir ? Les opérateurs + - * / ^, les parenthèses, ainsi que sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt, abs, et les constantes pi et e.
