Ce que fait ce calculateur
Cet outil résout numériquement une équation différentielle ordinaire du second ordre de la forme \(y'' = F(x, y, y')\) sur un intervalle [x0, xn], grâce à la méthode de Runge-Kutta d'ordre 2 (le schéma RK2 dit du point milieu, ou méthode d'Euler modifiée). Vous fournissez le second membre F sous forme d'expression en x, y et p (où p désigne y'), les valeurs initiales y(x0) et y'(x0), les bornes de l'intervalle ainsi que le nombre de pas. Le résultat est un tableau de valeurs (x, y, y') parcourant l'intervalle pas à pas. Il s'agit d'analyse numérique pure : la méthode s'applique donc à l'identique partout, quel que soit le pays.
Mode d'emploi
Saisissez la fonction F à l'aide de x, y et p, par exemple -4*p-4*y pour \(y'' = -4y' - 4y\). Les opérateurs + - * / ^ (ou **) ainsi que les fonctions sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pow et les constantes pi, e sont pris en charge. Indiquez x0, les valeurs initiales y0 et y'0 = p0, la borne finale xn, puis choisissez le nombre de sous-intervalles n. Plus le nombre de pas est élevé, plus le pas \(h = (x_n - x_0)/n\) est petit et plus l'erreur diminue (l'erreur globale est en \(O(h^2)\)).
La formule expliquée
On commence par ramener l'équation à un système du premier ordre en posant \(p = y'\), ce qui donne $$\begin{cases} y' = p \\ p' = F(x, y, p) \end{cases}$$ À chaque pas, RK2 évalue la pente au début et au point milieu, puis les combine : \(j_1 = h\cdot F(x,y,p)\), \(k_1 = h\cdot p\), ensuite \(j_2\) et \(k_2\) sont calculés au point milieu et servent à faire progresser p et y. L'erreur de troncature locale est en \(O(h^3)\) par pas.
Exemple détaillé
Avec \(F = -4p-4y\), \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(p_0 = 1\), \(x_n = 1\), \(n = 50\), le pas vaut \(h = 0{,}02\). Le premier pas donne \(y_1 = 0{,}0192\) et \(p_1 = 0{,}9224\). En itérant jusqu'à \(x = 1\), on obtient \(y(1) \approx 0{,}13533\) et \(y'(1) \approx -0{,}13533\), ce qui correspond à la solution exacte \(y = x\cdot e^{-2x}\), dont la valeur en \(x = 1\) est \(e^{-2} = 0{,}135335\).
FAQ
Est-ce du RK2 ou du RK4 ? Il s'agit de la méthode de Runge-Kutta d'ordre 2 (règle du point milieu), et non de la méthode classique d'ordre 4 : sa précision globale n'est donc que du second ordre.
xn peut-il être inférieur à x0 ? Oui. Le pas devient simplement négatif et l'intégration se fait à rebours, ce qui reste parfaitement valide sur le plan mathématique.
Pourquoi ai-je obtenu une ligne d'erreur ? Des problèmes d'évaluation tels qu'une division par zéro, le logarithme d'un nombre négatif ou nul, ou la racine carrée d'un nombre négatif à l'intérieur de F interrompent l'intégration et en signalent l'emplacement.
