यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल \(y'' = F(x, y, y')\) रूप में लिखे गए किसी द्वितीय-क्रम साधारण अवकल समीकरण को अंतराल [x0, xn] पर संख्यात्मक रूप से हल करता है, और इसके लिए द्वितीय-क्रम रुंगे-कुट्टा विधि (मिडपॉइंट / संशोधित-ऑयलर RK2 स्कीम) का उपयोग करता है। आप दाहिने पक्ष F को x, y और p के पद में एक व्यंजक के रूप में देते हैं (यहाँ p का अर्थ y' है), साथ ही प्रारंभिक मान y(x0) और y'(x0), अंतराल के दोनों सिरे और चरणों की संख्या भी देते हैं। परिणाम (x, y, y') मानों की एक तालिका होती है जो पूरे अंतराल में आगे बढ़ती है। यह विशुद्ध संख्यात्मक विश्लेषण है, इसलिए यह हर जगह एक समान रूप से लागू होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
फोर्सिंग फलन F को x, y और p का उपयोग करके लिखें, जैसे \(y'' = -4y' - 4y\) के लिए -4*p-4*y। संक्रियाएं + - * / ^ (या **) तथा फलन sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pow और स्थिरांक pi, e समर्थित हैं। x0, प्रारंभिक y0 और y'0 = p0, अंतिम बिंदु xn सेट करें, और उप-अंतरालों की संख्या n चुनें। जितने अधिक चरण होंगे, चरण आकार \(h = \dfrac{x_n - x_0}{n}\) उतना ही छोटा होगा और त्रुटि उतनी ही कम होगी (वैश्विक त्रुटि \(O(h^2)\) होती है)।
सूत्र की व्याख्या
समीकरण को पहले प्रथम-क्रम निकाय में बदला जाता है — \(p = y'\) मानकर, जिससे \(y' = p\) और \(p' = F(x, y, p)\) मिलता है। $$\begin{cases} y' = p \\ p' = F(x,y,p) \end{cases}$$ प्रत्येक RK2 चरण ढाल (स्लोप) को शुरुआत में और मध्यबिंदु पर मापता है और दोनों को मिलाता है: \(j_1 = h\cdot F(x,y,p)\), \(k_1 = h\cdot p\), फिर \(j_2\) और \(k_2\) को मध्यबिंदु पर ज्ञात करके p और y को आगे बढ़ाया जाता है। प्रति चरण स्थानीय छंटाई त्रुटि (local truncation error) \(O(h^3)\) होती है।
हल किया गया उदाहरण
\(F = -4p-4y\), \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(p_0 = 1\), \(x_n = 1\), \(n = 50\) के साथ चरण आकार \(h = 0.02\) होता है। पहला चरण \(y_1 = 0.0192\) और \(p_1 = 0.9224\) देता है। \(x = 1\) तक दोहराने पर \(y(1) \approx 0.13533\) और \(y'(1) \approx -0.13533\) मिलता है, जो सटीक हल \(y = x\cdot e^{-2x}\) से मेल खाता है, जिसका \(x = 1\) पर मान \(e^{-2} = 0.135335\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह RK2 है या RK4? यह द्वितीय-क्रम रुंगे-कुट्टा (मिडपॉइंट नियम) है, न कि शास्त्रीय चतुर्थ-क्रम विधि, इसलिए यह वैश्विक रूप से केवल द्वितीय-क्रम तक ही सटीक है।
क्या xn, x0 से छोटा हो सकता है? हाँ। ऐसी स्थिति में चरण आकार बस ऋणात्मक हो जाता है और समाकलन पीछे की ओर चलता है, जो गणितीय रूप से मान्य है।
मुझे त्रुटि वाली पंक्ति क्यों मिली? F के अंदर शून्य से भाग, ऋणात्मक या शून्य संख्या का लॉग, या ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल जैसी मूल्यांकन समस्याएं समाकलन को रोक देती हैं और उस स्थान की सूचना देती हैं।
