Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, \(y'' = F(x, y, y')\) biçiminde yazılan ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemleri [x0, xn] aralığında, ikinci mertebe Runge-Kutta yöntemiyle (orta nokta / değiştirilmiş Euler RK2 şeması) sayısal olarak çözer. Denklemin sağ tarafı F'yi x, y ve p cinsinden bir ifade olarak verirsiniz (burada p, y' anlamına gelir); ayrıca y(x0) ve y'(x0) başlangıç değerlerini, aralığın uç noktalarını ve adım sayısını girersiniz. Sonuç, aralık boyunca ilerleyen (x, y, y') değerlerinden oluşan bir tablodur. Bu tamamen sayısal analiz olduğundan, dünyanın her yerinde aynı şekilde çalışır.
Nasıl kullanılır?
F kuvvet fonksiyonunu x, y ve p kullanarak yazın; örneğin \(y'' = -4y' - 4y\) için -4*p-4*y girin. + - * / ^ (veya **) operatörleri ile sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pow fonksiyonları ve pi, e sabitleri desteklenir. x0 değerini, y0 ve y'0 = p0 başlangıç değerlerini, xn bitiş noktasını belirleyin ve n alt aralık sayısını seçin. Adım sayısı arttıkça adım uzunluğu \(h = (x_n - x_0)/n\) küçülür ve hata azalır (genel hata \(O(h^2)\) mertebesindedir).
Formülün açıklaması
Denklem önce \(p = y'\) tanımı yapılarak birinci mertebeden bir sisteme indirgenir; bu durumda \(y' = p\) ve \(p' = F(x, y, p)\) olur. Her RK2 adımı, eğimi hem başlangıçta hem de orta noktada örnekleyip bunları birleştirir: \(j_1 = h\cdot F(x,y,p)\), \(k_1 = h\cdot p\) hesaplanır, ardından \(j_2\) ve \(k_2\) orta noktada değerlendirilerek p ve y ilerletilir. Her adımdaki yerel kesme hatası \(O(h^3)\) mertebesindedir.
$$\begin{gathered} y^{\prime\prime} = F(x,\,y,\,p), \qquad p = y^{\prime} \\[1.5em] \text{with}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{\text{x}_n - \text{x}_0}{\text{n}} \\ y_0 &= \text{y}_0, \quad p_0 = \text{p}_0 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Çözümlü örnek
F = -4*p-4*y, x0 = 0, y0 = 0, p0 = 1, xn = 1, n = 50 değerleriyle adım uzunluğu \(h = 0.02\) olur. İlk adım \(y_1 = 0.0192\) ve \(p_1 = 0.9224\) verir. x = 1 noktasına kadar yinelendiğinde \(y(1) \approx 0.13533\) ve \(y'(1) \approx -0.13533\) elde edilir; bu da x = 1 noktasındaki değeri \(e^{-2} = 0.135335\) olan \(y = x\cdot e^{-2x}\) tam çözümüyle uyuşur.
Sıkça sorulan sorular
Bu RK2 mi yoksa RK4 mü? Bu, klasik dördüncü mertebe yöntem değil, ikinci mertebe Runge-Kutta (orta nokta kuralı) yöntemidir; dolayısıyla genel olarak yalnızca ikinci mertebe doğruluğa sahiptir.
xn, x0'dan küçük olabilir mi? Evet. Bu durumda adım uzunluğu negatif olur ve integrasyon geriye doğru ilerler; bu matematiksel olarak geçerlidir.
Neden hata satırı aldım? F içinde sıfıra bölme, pozitif olmayan bir sayının logaritması ya da negatif bir sayının karekökü gibi değerlendirme sorunları integrasyonu durdurur ve sorunun yerini bildirir.
