这个计算器有什么用
本工具可在区间 [x0, xn] 上数值求解形如 \(y'' = F(x, y, y')\) 的二阶常微分方程，采用的是二阶龙格-库塔法（即中点法 / 改进欧拉型 RK2 格式）。你只需把右端项 F 写成关于 x、y 和 p 的表达式（其中 p 表示 y'），再给出初值 \(y(x_0)\) 和 \(y'(x_0)\)、区间端点以及步数即可。计算结果是一张随区间逐步推进的 (x, y, y') 数值表。这是纯粹的数值分析方法，与国家或地区无关，在任何地方使用结果都完全一致。
使用方法
用 x、y 和 p 写出强迫函数 F，例如要表示 \(y'' = -4y' - 4y\)，就输入 -4*p-4*y。支持运算符 + - * / ^（或 **），支持函数 sin、cos、tan、exp、log、ln、sqrt、abs、pow，以及常数 pi、e。设置起点 \(x_0\)、初值 \(y_0\) 和 \(y'_0 = p_0\)、终点 \(x_n\)，再选择子区间个数 \(n\)。步数越多，步长 \(h = (x_n - x_0)/n\) 越小，误差也越低（全局误差为 \(O(h^2)\)）。
公式详解
首先令 \(p = y'\)，把方程化为一阶方程组：\(y' = p\) 和 \(p' = F(x, y, p)\)。每一步 RK2 都在区间起点和中点处分别采样斜率并加以组合：先算 \(j_1 = h\cdot F(x,y,p)\)、\(k_1 = h\cdot p\)，再在中点处计算 \(j_2\) 和 \(k_2\)，并用它们推进 p 和 y。每一步的局部截断误差为 \(O(h^3)\)。
实例演算
取 \(F = -4p-4y\)，\(x_0 = 0\)，\(y_0 = 0\)，\(p_0 = 1\)，\(x_n = 1\)，\(n = 50\)，则步长为 \(h = 0.02\)。第一步得到 \(y_1 = 0.0192\)、\(p_1 = 0.9224\)。一直迭代到 \(x = 1\)，可得 \(y(1) \approx 0.13533\)，\(y'(1) \approx -0.13533\)，与精确解 \(y = x\cdot e^{-2x}\) 吻合——该解在 \(x = 1\) 处的值为 \(e^{-2} = 0.135335\)。
常见问题
这是 RK2 还是 RK4？这是二阶龙格-库塔法（中点法），而不是经典的四阶方法，因此全局精度只有二阶。
\(x_n\) 可以小于 \(x_0\) 吗？可以。这时步长会变为负数，积分会向后进行，在数学上完全成立。
为什么会出现报错行？当 F 中出现求值问题时，比如除以零、对非正数取对数或对负数开平方，积分会停止并报告出错位置。
