Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve numéricamente una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden expresada en la forma \(y'' = F(x, y, y')\) sobre un intervalo [x0, xn], utilizando el método Runge-Kutta de segundo orden (el esquema RK2 del punto medio, también conocido como Euler modificado). Solo tienes que indicar el lado derecho F como una expresión en x, y y p (donde p representa y'), los valores iniciales y(x0) e y'(x0), los extremos del intervalo y el número de pasos. El resultado es una tabla de valores (x, y, y') que avanza a lo largo del intervalo. Se trata de análisis numérico puro, así que funciona exactamente igual en cualquier parte del mundo.
Cómo utilizarla
Escribe la función F usando x, y y p; por ejemplo, -4*p-4*y para \(y'' = -4y' - 4y\). Se admiten los operadores + - * / ^ (o **), las funciones sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pow y las constantes pi, e. Define x0, los valores iniciales y0 e y'0 = p0, el punto final xn y elige el número de subintervalos n. Cuantos más pasos uses, menor será el tamaño de paso \(h = \dfrac{x_n - x_0}{n}\) y menor el error (el error global es \(O(h^2)\)).
La fórmula explicada
La ecuación se reduce primero a un sistema de primer orden haciendo \(p = y'\), lo que da \(y' = p\) y \(p' = F(x, y, p)\). Cada paso de RK2 evalúa la pendiente al inicio y en el punto medio y las combina: \(j_1 = h\cdot F(x,y,p)\), \(k_1 = h\cdot p\); después \(j_2\) y \(k_2\) se calculan en el punto medio y se usan para avanzar p e y. El error de truncamiento local es \(O(h^3)\) por paso.
Ejemplo resuelto
Con \(F = -4p-4y\), \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(p_0 = 1\), \(x_n = 1\), \(n = 50\), el tamaño de paso es \(h = 0.02\). El primer paso da \(y_1 = 0.0192\) y \(p_1 = 0.9224\). Al iterar hasta \(x = 1\) se obtiene $$y(1) \approx 0.13533 \quad\text{e}\quad y'(1) \approx -0.13533,$$ lo que coincide con la solución exacta \(y = x\cdot e^{-2x}\), cuyo valor en \(x = 1\) es \(e^{-2} = 0.135335\).
Preguntas frecuentes
¿Esto es RK2 o RK4? Es Runge-Kutta de segundo orden (regla del punto medio), no el método clásico de cuarto orden, por lo que su precisión global es solo de segundo orden.
¿Puede ser xn menor que x0? Sí. El tamaño de paso simplemente pasa a ser negativo y la integración avanza hacia atrás, algo perfectamente válido desde el punto de vista matemático.
¿Por qué aparece una fila de error? Problemas de evaluación como una división entre cero, el logaritmo de un número no positivo o la raíz cuadrada de un número negativo dentro de F detienen la integración e informan del punto donde ocurrió.
