¿Qué es la calculadora del método de Runge-Kutta de 2.º orden?
Esta herramienta resuelve numéricamente una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden de la forma \(y' = F(x, y)\) en un intervalo \([x_0, x_n]\), partiendo de la condición inicial \(y_0 = f(x_0)\). Emplea el método de Runge-Kutta de 2.º orden (el método del punto medio) y genera una tabla de aproximaciones \((x, y)\) junto con el valor final \(y_n = f(x_n)\). Es una herramienta matemática universal, sin restricciones de país ni de jurisdicción.
Cómo usarla
Escribe el lado derecho \(F(x,y)\) como una expresión matemática en \(x\) e \(y\) (por ejemplo, 1-y^2, x*y o sin(x)+y). Indica el punto inicial \(x_0\) e \(y_0\), el extremo del intervalo \(x_n\) y elige el número de subdivisiones iguales \(n\). El intervalo se divide en \(n\) pasos de tamaño \(h = (x_n - x_0)/n\). Cuanto mayor sea \(n\), más fino será el paso y mejor la precisión. El selector de precisión de visualización solo controla cuántas cifras significativas se muestran.
La fórmula explicada
El esquema de Runge-Kutta del punto medio avanza la solución paso a paso:
$$k_1 = h \cdot F(x_i, y_i)$$$$k_2 = h \cdot F\left(x_i + \tfrac{h}{2},\; y_i + \tfrac{k_1}{2}\right)$$$$y_{i+1} = y_i + k_2, \quad x_{i+1} = x_i + h$$La pendiente se estima en el punto medio del paso, lo que cancela el término de error principal. El error de truncamiento local es \(O(h^3)\) y el error global es \(O(h^2)\), de modo que reducir \(h\) a la mitad divide el error aproximadamente entre cuatro.
Ejemplo resuelto
Resolvamos \(y' = 1 - y^2\) con \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(x_n = 1\), \(n = 50\) (es decir, \(h = 0.02\)). La solución exacta es \(y = \tanh(x)\). Paso 1: \(k_1 = 0.02 \cdot (1-0) = 0.02\); \(k_2 = 0.02 \cdot (1-0.01^2) = 0.019998\); \(y_1 = 0.019998\). Al continuar los 50 pasos se obtiene \(y(1) \approx 0.76159\), que coincide con \(\tanh(1) \approx 0.7615942\) hasta el quinto decimal.
Preguntas frecuentes
¿Qué precisión tiene? La precisión mejora al aumentar \(n\), porque el error global crece como \(h^2\). En ecuaciones rígidas (stiff) o con pasos muy grandes, el resultado puede diverger.
¿Puede \(x_n\) ser menor que \(x_0\)? Sí. En ese caso \(h\) es negativo y el método integra hacia atrás en \(x\), lo cual sigue siendo válido.
¿Qué funciones puedo usar? Las habituales: sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, además de \(+\), \(-\), \(*\), \(/\), \(\char`^\) y paréntesis, y las constantes \(e\) y \(\pi\).
