ما هي حاسبة طريقة رونغ-كوتا من الرتبة الثانية؟
تحل هذه الأداة عدديًا معادلة تفاضلية اعتيادية من الرتبة الأولى على الصورة \(y' = F(x, y)\) ضمن الفترة \([x_0, x_n]\)، انطلاقًا من الشرط الابتدائي \(y_0 = f(x_0)\). وتعتمد على طريقة رونغ-كوتا من الرتبة الثانية (طريقة نقطة المنتصف)، فتُنتج جدولًا بقيم \((x, y)\) التقريبية إلى جانب القيمة النهائية \(y_n = f(x_n)\). وهي أداة رياضية عامة لا ترتبط بأي بلد أو نظام قانوني معيّن.
كيفية الاستخدام
أدخل الطرف الأيمن \(F(x,y)\) على هيئة عبارة رياضية بدلالة \(x\) و\(y\) (مثل 1-y^2 أو x*y أو sin(x)+y). ثم حدّد النقطة الابتدائية \(x_0\) و\(y_0\)، ونهاية المجال \(x_n\)، واختر عدد التقسيمات المتساوية \(n\). تُقسَّم الفترة إلى \(n\) خطوة بطول \(h = \dfrac{x_n - x_0}{n}\). وكلما زادت قيمة \(n\) صَغُرَت الخطوة وارتفعت الدقة. أما محدِّد دقة العرض فهو يتحكم فقط في عدد الأرقام المعنوية الظاهرة على الشاشة.
شرح المعادلة
تتقدّم مخطّطة رونغ-كوتا بنقطة المنتصف بالحل خطوةً بخطوة:
$$k_1 = h \cdot F(x_i, y_i)$$ $$k_2 = h \cdot F\left(x_i + \frac{h}{2},\; y_i + \frac{k_1}{2}\right)$$ $$y_{i+1} = y_i + k_2, \quad x_{i+1} = x_i + h$$يُقدَّر الميل عند منتصف الخطوة، وهو ما يلغي حدّ الخطأ الرئيسي. ويكون خطأ البتر الموضعي من الرتبة \(O(h^3)\) بينما الخطأ الكلي من الرتبة \(O(h^2)\)، أي أن خفض \(h\) إلى النصف يقلّص الخطأ إلى نحو الربع.
مثال محلول
لنحل \(y' = 1 - y^2\) حيث \(x_0 = 0\) و\(y_0 = 0\) و\(x_n = 1\) و\(n = 50\) (أي \(h = 0.02\)). الحل المضبوط هو \(y = \tanh(x)\). الخطوة الأولى: $$k_1 = 0.02 \cdot (1-0) = 0.02$$ $$k_2 = 0.02 \cdot (1-0.01^2) = 0.019998$$ $$y_1 = 0.019998$$ وبمواصلة الخطوات الخمسين كاملةً نحصل على \(y(1) \approx 0.76159\)، وهو مطابق لـ \(\tanh(1) \approx 0.7615942\) حتى خمس مراتب عشرية.
الأسئلة الشائعة
ما مدى دقتها؟ تتحسّن الدقة بزيادة \(n\) لأن الخطأ الكلي يتناسب مع \(h^2\). أما في حالة المعادلات الصلبة (Stiff) أو الخطوات الكبيرة جدًا فقد تتباعد النتيجة.
هل يمكن أن تكون \(x_n\) أصغر من \(x_0\)؟ نعم. عندئذ تصبح \(h\) سالبة فتُكامِل الطريقة في الاتجاه العكسي على محور \(x\)، ويبقى ذلك صحيحًا.
ما الدوال التي يمكنني استخدامها؟ الدوال القياسية: sin وcos وtan وexp وln وlog وsqrt، إضافةً إلى العمليات \(+\)، \(-\)، \(*\)، \(/\)، \(\hat{}\) والأقواس، والثابتين \(e\) و\(pi\).
