حاسبة الانحدار الأُسّي (y = A·B^x)

A (المعامل)	٠٫٩٩٥٥٢٧٤٩٢٥
B (الأساس)	٢٫٧٢١٥١١١٦١
معامل الارتباط r	٠٫٩٩٩٩٩٨٥٠٧٥

ما هو الانحدار الأُسّي؟

الانحدار الأُسّي هو طريقة لمطابقة منحنى على الصورة $y = A \cdot B^{x}$ مع مجموعة من الملاحظات المزدوجة. وهو الأداة الأنسب كلما نما مقدارٌ ما أو تناقص بمعامل شبه ثابت مع كل زيادة بمقدار وحدة في $x$ — مثل النمو السكاني، والفائدة المركّبة، والاضمحلال الإشعاعي، والمزارع البكتيرية، والكثير من الظواهر الطبيعية. وهي أداة إحصائية عالمية لا ترتبط بقواعد خاصة ببلد معيّن.

مخطط مبعثر لنقاط البيانات مع منحنى أسي ملائم يرتفع بحدّة — يلائم الانحدار الأسي منحنى y = A·B^x عبر نقاط البيانات المبعثرة.

كيفية الاستخدام

أدخل بياناتك بمعدّل زوج واحد في كل سطر بالصيغة x,y. تحتاج إلى نقطتين على الأقل، ويجب ألا تكون كل قيم $x$ متطابقة، كما يجب أن تكون كل قيمة من قيم $y$ موجبة تمامًا (لأن الطريقة تأخذ اللوغاريتم الطبيعي لـ $y$). اختر عدد الأرقام المعروضة، ثم اقرأ قيم $A$ و$B$ ومعامل الارتباط $r$.

شرح المعادلة

النموذج غير خطي، لكنّ أخذ اللوغاريتمات يجعله خطيًا: $$\ln(y) = \ln(A) + x \cdot \ln(B)$$ لذلك نطبّق مطابقة خط بطريقة المربعات الصغرى العادية على النقاط المحوَّلة $(x_i, \ln y_i)$. فإذا رمزنا بـ $\bar{x}$ إلى متوسط $x$ وبـ $\overline{\ln y}$ إلى متوسط $\ln y$، نعرّف $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$ و$S_{yy} = \sum(\ln y_i - \overline{\ln y})^2$ و$S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(\ln y_i - \overline{\ln y})$. ومن ثَمّ يكون $$B = \exp\!\left(\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right), \quad A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - \bar{x} \cdot \ln B\right), \quad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}}}$$

اعلان

رسم بياني يوضح كيف يحدد A الارتفاع الابتدائي وكيف يتحكم B في معدل نمو المنحنى — A هي قيمة y عند x = 0، وB تحدد مدى سرعة نمو المنحنى أو تضاؤله.

مثال محلول

لنأخذ النقاط $(1, 2.7)$ و$(2, 7.4)$ و$(3, 20.1)$ و$(4, 54.6)$ و$(5, 148.4)$: هنا $n = 5$، و$\bar{x} = 3$، و$\overline{\ln y} \approx 2.99906$. وعليه $S_{xx} = 10$، و$S_{xy} \approx 10.01167$، و$S_{yy} \approx 10.02337$. فيكون $B = \exp(1.001167) \approx 2.7215$، و$A = \exp(2.99906 - 3 \cdot 1.001167) \approx 0.9956$، و$r \approx 0.99999985$. والنموذج المطابِق $y \approx 0.9956 \cdot 2.7215^{x}$ يقترب كثيرًا من النموذج الأساسي $y \approx e^{x}$.

اعلان

تفسير النتيجة

يعيد الانحدار الأسي ثلاثة أرقام — $A$ و $B$ و $r$ — التي تصف معًا النموذج $y = A \cdot B^{\,x}$. إليك كيفية قراءة كل واحد منها.

الأساس $B$: النمو أو التضاؤل

يتحكم الأساس $B$ في اتجاه وسرعة التغير لكل زيادة بمقدار وحدة واحدة في $x$:

$B > 1$ يعني النمو. كل خطوة في $x$ تضرب $y$ في $B$، لذا المنحنى يرتفع. النسبة المئوية للتغير لكل وحدة هي $(B-1)\times100\%$. على سبيل المثال، $B = 1.08$ يقابل نمو بنسبة 8% لكل وحدة من $x$.
$B < 1$ يعني التضاؤل. كل خطوة تضرب $y$ في أقل من واحد، لذا المنحنى ينخفض نحو الصفر. نفس الصيغة $(B-1)\times100\%$ تعطي نتيجة سالبة؛ على سبيل المثال، $B = 0.85$ يعني تغيرًا بنسبة $-15\%$ لكل وحدة.
$B = 1$ يعني مستقيمة. تبقى $y$ مساوية لـ $A$ بغض النظر عن $x$ (صفر في المئة تغير).

المعامل $A$: تقاطع المحور الصادي

$A$ هي قيمة $y$ عندما $x = 0$، لأن $A \cdot B^{0} = A$. إنها تثبت المنحنى عموديًا وتمثل الكمية الابتدائية، السكان الأوليين، المبدأ، أو الجرعة في أصل محور $x$ الخاص بك.

معامل الارتباط $r$: الملاءمة على مقياس لوغاريتمي

تعمل هذه الملاءمة بأخذ $z_i = \ln y_i$ وتشغيل انحدار خطي عادي لـ $z$ مقابل $x$. ونتيجة لذلك، يقيس $r$ مدى جودة سقوط البيانات المحولة لوغاريتميًا $\ln(y)$ على خط مستقيم — وليس مدى جودة ملاءمة القيم $y$ الخام للمنحنى. قيمة $r$ قريبة من $+1$ أو $-1$ تشير إلى علاقة أسية قوية؛ تتطابق الإشارة مع الاتجاه (موجبة للنمو، سالبة للتضاؤل).

باستخدام فئات تفسير الارتباط القياسية لـ $|r|$:

0.9 – 1.0: ملاءمة قوية جدًا — البيانات تتبع النموذج الأسي بشكل وثيق.
0.7 – 0.9: ملاءمة قوية — النموذج الأسي وصف جيد مع بعض التشتت.
0.5 – 0.7: ملاءمة معتدلة — يوجد اتجاه لكن عوامل أخرى في اللعب.
أقل من 0.5: ملاءمة ضعيفة — قد لا يكون النموذج الأسي مناسبًا.

لأن $r$ يعكس الملاءمة على المقياس اللوغاريتمي، فإن $r$ العالية لا تضمن أخطاء صغيرة على مقياس $y$ الأصلي؛ تحصل القيم الكبيرة لـ $y$ على وزن أقل بعد تحويل $\ln$. تحقق دائمًا من رسم المنحنى المثبت مقابل البيانات الخام الخاصة بك كفحص معقولية.

الأسئلة الشائعة

لماذا يجب أن تكون y موجبة؟ لأن المطابقة تعتمد على $\ln(y)$، ولوغاريتم الصفر أو العدد السالب غير معرَّف.

ماذا يعني r هنا؟ إنه الارتباط بين $x$ و$\ln(y)$. واستعن بالدليل التالي: $0.7 < |r| \le 1$ ارتباط قوي، و$0.4 < |r| < 0.7$ متوسط، و$0.2 < |r| < 0.4$ ضعيف، وأقل من $0.2$ لا يوجد ارتباط.

ماذا لو كانت كل قيم x متطابقة؟ عندئذٍ يكون $S_{xx} = 0$ ويصبح الميل غير معرَّف؛ لذا وفّر قيمتين مختلفتين على الأقل لـ $x$.