Калькулятор экспоненциальной регрессии (y = A·Bˣ)

A (коэффициент)	0,9955274925
B (основание)	2,721511161
Коэффициент корреляции r	0,9999985075

Что такое экспоненциальная регрессия?

Экспоненциальная регрессия подбирает кривую вида $y = A \cdot B^{x}$ к набору парных наблюдений. Это подходящий инструмент в тех случаях, когда величина растёт или убывает примерно в постоянное число раз при каждом увеличении x на единицу: рост населения, сложные проценты, радиоактивный распад, размножение бактерий и многие другие природные процессы. Это универсальный статистический метод, не зависящий от каких-либо национальных правил.

Диаграмма рассеяния точек данных с подобранной круто возрастающей экспоненциальной кривой — Экспоненциальная регрессия проводит кривую $y = A \cdot B^{x}$ через разбросанные точки данных.

Как пользоваться калькулятором

Вводите данные по одной паре в строке в формате x,y. Понадобится минимум две точки, значения x не должны быть все одинаковыми, а каждое значение y должно быть строго положительным (метод берёт натуральный логарифм от y). Выберите число знаков для вывода — и сразу увидите A, B и коэффициент корреляции $r$.

Разбор формулы

Модель нелинейна, но логарифмирование делает её линейной: $\ln(y) = \ln(A) + x \cdot \ln(B)$. Поэтому мы применяем обычный метод наименьших квадратов к преобразованным точкам $(x_{i}, \ln y_{i})$. Обозначим $\bar{x}$ — среднее значение x, а $\overline{\ln y}$ — среднее значение ln y, и определим $$S_{xx} = \sum (x_{i} - \bar{x})^{2}, \quad S_{yy} = \sum (\ln y_{i} - \overline{\ln y})^{2}, \quad S_{xy} = \sum (x_{i} - \bar{x})(\ln y_{i} - \overline{\ln y}).$$ Тогда $$B = \exp\!\left(\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right), \quad A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - \bar{x} \cdot \ln B\right), \quad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}}}.$$

Схема, показывающая, как A задаёт начальную высоту, а B управляет скоростью роста кривой — A — значение y при x = 0; B определяет, насколько быстро кривая растёт или убывает.

Пример расчёта

Для точек (1, 2.7), (2, 7.4), (3, 20.1), (4, 54.6), (5, 148.4): $n = 5$, $\bar{x} = 3$, $\overline{\ln y} \approx 2.99906$. $S_{xx} = 10$, $S_{xy} \approx 10.01167$, $S_{yy} \approx 10.02337$. Получаем $$B = \exp(1.001167) \approx 2.7215, \quad A = \exp(2.99906 - 3 \cdot 1.001167) \approx 0.9956, \quad r \approx 0.99999985.$$ Подобранная модель $y \approx 0.9956 \cdot 2.7215^{x}$ отлично совпадает с исходной зависимостью $y \approx e^{x}$.

Частые вопросы

Почему y должно быть положительным? Подгонка выполняется по ln(y), а логарифм нуля или отрицательного числа не определён.

Что означает r в данном случае? Это корреляция между x и ln(y). Ориентир такой: $0.7 < |r| \le 1$ — сильная связь, $0.4 < |r| < 0.7$ — умеренная, $0.2 < |r| < 0.4$ — слабая, ниже 0.2 — связи нет.

Что делать, если все значения x одинаковы? Тогда $S_{xx} = 0$, и наклон не определён; укажите хотя бы два различных значения x.

Интерпретация вашего результата

Экспоненциальная регрессия возвращает три числа — $A$, $B$ и $r$ — которые вместе описывают модель $y = A \cdot B^{\,x}$. Вот как читать каждое из них.

Основание $B$: рост или спад

Основание $B$ контролирует направление и скорость изменения при каждом увеличении $x$ на одну единицу:

$B > 1$ означает рост. Каждый шаг в $x$ умножает $y$ на $B$, поэтому кривая поднимается. Процентное изменение на единицу — это $(B-1)\times100\%$. Например, $B = 1.08$ соответствует 8% роста на единицу $x$.
$B < 1$ означает спад. Каждый шаг умножает $y$ на число меньше единицы, поэтому кривая падает к нулю. По той же формуле $(B-1)\times100\%$ получается отрицательный результат; например, $B = 0.85$ — это $-15\%$ изменения на единицу.
$B = 1$ — плоская линия. $y$ остаётся равным $A$ независимо от $x$ (нулевое процентное изменение).

Коэффициент $A$: пересечение с осью Y

$A$ — это значение $y$ при $x = 0$, потому что $A \cdot B^{0} = A$. Он закрепляет кривую по вертикали и представляет начальное количество, исходную популяцию, основную сумму или дозу у начала вашей оси $x$.

Коэффициент корреляции $r$: соответствие на логарифмической шкале

Этот способ работает путём преобразования $z_i = \ln y_i$ и выполнения обычной линейной регрессии $z$ относительно $x$. Следовательно, $r$ измеряет, насколько хорошо логарифмически преобразованные данные $\ln(y)$ лежат на прямой линии — не то, насколько хорошо исходные значения $y$ соответствуют кривой. Значение $r$, близкое к $+1$ или $-1$, указывает на сильную экспоненциальную зависимость; знак совпадает с направлением (положительный для роста, отрицательный для спада).

Используя стандартные диапазоны интерпретации корреляции для $|r|$:

0.9 – 1.0: очень сильное соответствие — данные тесно следуют экспоненциальной модели.
0.7 – 0.9: сильное соответствие — экспоненциальная модель хорошо описывает данные с некоторым разбросом.
0.5 – 0.7: умеренное соответствие — тренд существует, но в игре другие факторы.
ниже 0.5: слабое соответствие — экспоненциальная модель может быть неподходящей.

Поскольку $r$ отражает соответствие на логарифмической шкале, высокое значение $r$ не гарантирует малые ошибки на исходной шкале $y$; большие значения $y$ имеют меньший вес после преобразования $\ln$. Всегда график подогнанной кривой сравните с вашими исходными данными как проверку правильности.