एक्सपोनेंशियल रिग्रेशन कैलकुलेटर (y = A·B^x)

A (गुणांक)	0.9955274925
B (आधार)	2.721511161
सहसंबंध गुणांक r	0.9999985075

एक्सपोनेंशियल रिग्रेशन क्या है?

एक्सपोनेंशियल रिग्रेशन आपके युग्मित (पेयर्ड) आंकड़ों पर $y = A \cdot B^{x}$ रूप का एक वक्र (कर्व) फिट करता है। यह वह उपकरण है जिसे आप तब इस्तेमाल करते हैं जब कोई मात्रा x में हर इकाई वृद्धि के साथ लगभग एक स्थिर गुणक से बढ़ती या घटती है — जनसंख्या वृद्धि, चक्रवृद्धि ब्याज, रेडियोएक्टिव क्षय, बैक्टीरिया कल्चर और ऐसी कई प्राकृतिक प्रक्रियाएं। यह एक सार्वभौमिक सांख्यिकीय उपकरण है, इसमें किसी देश या क्षेत्र विशेष के नियम लागू नहीं होते।

डेटा बिंदुओं का स्कैटर प्लॉट जिसमें तेज़ी से बढ़ता हुआ फिट किया गया घातांकीय वक्र है — घातांकीय प्रतिगमन बिखरे हुए डेटा बिंदुओं से होकर एक वक्र $y = A \cdot B^{x}$ फिट करता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपना डेटा हर पंक्ति में एक युग्म के रूप में x,y लिखकर डालें। आपको कम से कम दो बिंदु चाहिए, सभी x मान एक जैसे नहीं होने चाहिए, और हर y मान कड़ाई से धनात्मक (पॉज़िटिव) होना चाहिए (क्योंकि यह विधि y का प्राकृतिक लघुगणक लेती है)। प्रदर्शित होने वाले अंकों की संख्या चुनें, और फिर A, B तथा सहसंबंध गुणांक r पढ़ लें।

सूत्र की व्याख्या

यह मॉडल अरैखिक (नॉन-लीनियर) है, लेकिन लघुगणक लेने पर यह रैखिक बन जाता है: $$\ln(y) = \ln(A) + x \cdot \ln(B)$$ इसलिए हम रूपांतरित बिंदुओं $(x_i, \ln y_i)$ पर एक साधारण लीस्ट-स्क्वेयर रेखा फिट करते हैं। यदि $\bar{x}$ को x का माध्य और $\overline{\ln y}$ को ln y का माध्य मानें, तो परिभाषित करें $$S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2, \quad S_{yy} = \sum (\ln y_i - \overline{\ln y})^2, \quad S_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(\ln y_i - \overline{\ln y})$$ तब $$B = \exp\!\left(\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right), \quad A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - \bar{x} \cdot \ln B\right), \quad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}}}$$

आरेख जो दिखाता है कि A प्रारंभिक ऊँचाई तय करता है और B वक्र की वृद्धि दर को नियंत्रित करता है — A वह y का मान है जब $x = 0$; B तय करता है कि वक्र कितनी तेज़ी से बढ़ता या घटता है।

हल किया गया उदाहरण

बिंदुओं (1, 2.7), (2, 7.4), (3, 20.1), (4, 54.6), (5, 148.4) के लिए: $n = 5$, $\bar{x} = 3$, $\overline{\ln y} \approx 2.99906$। $S_{xx} = 10$, $S_{xy} \approx 10.01167$, $S_{yy} \approx 10.02337$। तो $$B = \exp(1.001167) \approx 2.7215, \quad A = \exp(2.99906 - 3 \cdot 1.001167) \approx 0.9956, \quad r \approx 0.99999985$$ फिट किया गया मॉडल $y \approx 0.9956 \cdot 2.7215^{x}$ मूल $y \approx e^{x}$ से बहुत निकटता से मेल खाता है।

आपके परिणाम की व्याख्या

एक घातांकीय प्रतिगमन तीन संख्याएं — $A$, $B$ और $r$ — देता है जो मिलकर मॉडल $y = A \cdot B^{\,x}$ का वर्णन करते हैं। यहां बताया गया है कि प्रत्येक को कैसे पढ़ें।

आधार $B$: वृद्धि या क्षय

$x$ में प्रत्येक एक-इकाई वृद्धि के लिए आधार $B$ परिवर्तन की दिशा और गति को नियंत्रित करता है:

$B > 1$ का अर्थ है वृद्धि। $x$ में प्रत्येक कदम $y$ को $B$ से गुणा करता है, इसलिए वक्र उठता है। प्रति-इकाई प्रतिशत परिवर्तन $(B-1)\times100\%$ है। उदाहरण के लिए, $B = 1.08$ $x$ की प्रति इकाई 8% वृद्धि के अनुरूप है।
$B < 1$ का अर्थ है क्षय। प्रत्येक कदम $y$ को एक से कम से गुणा करता है, इसलिए वक्र शून्य की ओर गिरता है। समान सूत्र $(B-1)\times100\%$ एक नकारात्मक परिणाम देता है; उदाहरण के लिए $B = 0.85$ प्रति इकाई $-15\%$ परिवर्तन है।
$B = 1$ सपाट है। $y$ $x$ की परवाह किए बिना $A$ के बराबर रहता है (शून्य प्रतिशत परिवर्तन)।

गुणांक $A$: y-अंतःखंड

$A$ का मान $y$ है जब $x = 0$, क्योंकि $A \cdot B^{0} = A$। यह वक्र को लंबवत रूप से प्रभावित करता है और प्रारंभिक राशि, प्रारंभिक जनसंख्या, मूलधन, या आपकी $x$-अक्ष के मूल में खुराक का प्रतिनिधित्व करता है।

सहसंबंध गुणांक $r$: लॉग पैमाने पर फिट

यह फिट $z_i = \ln y_i$ लेकर और $z$ के विरुद्ध $x$ का एक साधारण रैखिक प्रतिगमन चलाकर काम करता है। परिणामस्वरूप, $r$ मापता है कि कितनी अच्छी तरह लॉग-रूपांतरित डेटा $\ln(y)$ एक सीधी रेखा पर गिरते हैं — न कि कितनी अच्छी तरह कच्चे $y$ मान वक्र के अनुरूप हैं। $r$ का मान $+1$ या $-1$ के करीब एक मजबूत घातांकीय संबंध को इंगित करता है; चिन्ह दिशा से मेल खाता है (वृद्धि के लिए सकारात्मक, क्षय के लिए नकारात्मक)।

$|r|$ के लिए मानक सहसंबंध व्याख्या बैंड का उपयोग करना:

0.9 – 1.0: बहुत मजबूत फिट — डेटा घातांकीय मॉडल का निकटता से पालन करते हैं।
0.7 – 0.9: मजबूत फिट — घातांकीय एक अच्छा विवरण है कुछ बिखराव के साथ।
0.5 – 0.7: मध्यम फिट — एक प्रवृत्ति मौजूद है लेकिन अन्य कारक भी काम कर रहे हैं।
0.5 से नीचे: कमजोर फिट — घातांकीय मॉडल उपयुक्त नहीं हो सकता है।

क्योंकि $r$ लॉग-पैमाने फिट को प्रतिबिंबित करता है, उच्च $r$ मूल $y$ पैमाने पर छोटी त्रुटियों की गारंटी नहीं देता है; $\ln$ रूपांतर के बाद बड़े $y$ मान कम भारित होते हैं। अपने कच्चे डेटा के विरुद्ध फिट किए गए वक्र को हमेशा एक सत्यापन जांच के रूप में आलेखित करें।

सामान्य प्रश्न (FAQ)

y का धनात्मक होना क्यों ज़रूरी है? फिट $\ln(y)$ पर काम करता है, और शून्य या ऋणात्मक संख्या का लघुगणक परिभाषित नहीं होता।

यहां r का क्या मतलब है? यह x और $\ln(y)$ के बीच का सहसंबंध है। इस मार्गदर्शिका का उपयोग करें: $0.7 < |r| \le 1$ मजबूत, $0.4 < |r| < 0.7$ मध्यम, $0.2 < |r| < 0.4$ कमज़ोर, 0.2 से नीचे कोई संबंध नहीं।

अगर मेरे सभी x मान एक जैसे हों तो? तब $S_{xx} = 0$ हो जाता है और ढलान (स्लोप) अपरिभाषित रहता है; कम से कम दो अलग-अलग x मान दें।