समरूप समकोण त्रिभुज क्या होते हैं?
जब किसी समकोण त्रिभुज के समकोण से उसके कर्ण पर लंब (ऊँचाई) खींचा जाता है, तो यह मूल त्रिभुज को दो छोटे त्रिभुजों में बाँट देता है। ख़ास बात यह है कि तीनों त्रिभुज — मूल त्रिभुज और उसके दो टुकड़े — आपस में समरूप होते हैं। इसी समरूपता से प्रसिद्ध ज्यामितीय माध्य (या "समकोण त्रिभुज ऊँचाई") संबंध बनते हैं, जिनकी मदद से आप केवल कर्ण के उन दो खंडों से ही ऊँचाई और दोनों भुजाएँ निकाल सकते हैं, जिन्हें ऊँचाई कर्ण पर काटती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
कर्ण के दोनों खंड p और q दर्ज करें। खंड p एक भुजा से सटा होता है और q दूसरी भुजा से; दोनों मिलकर पूरा कर्ण बनाते हैं। कैलकुलेटर आपको ऊँचाई h, पूरे कर्ण की लंबाई और दोनों भुजाएँ बताता है।
सूत्र की व्याख्या
कर्ण पर खींची गई ऊँचाई दोनों खंडों का ज्यामितीय माध्य होती है:
$$h = \sqrt{p \cdot q}$$प्रत्येक भुजा पूरे कर्ण और उससे सटे खंड का ज्यामितीय माध्य होती है:
$$a = \sqrt{p \cdot (p+q)} \qquad b = \sqrt{q \cdot (p+q)}$$ये सूत्र सीधे समरूप त्रिभुजों के अनुपातों से निकलते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(p = 4\) और \(q = 9\)। तब कर्ण \(= 4 + 9 = 13\) होगा। ऊँचाई \(= \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6\) होगी। भुजाएँ होंगी \(\sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52} \approx 7.2111\) और \(\sqrt{9 \cdot 13} = \sqrt{117} \approx 10.8167\)। आप इसे पाइथागोरस प्रमेय से जाँच सकते हैं: \(7.2111^2 + 10.8167^2 \approx 52 + 117 = 169 = 13^2\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
ज्यामितीय माध्य क्या होता है? दो संख्याओं a और b का ज्यामितीय माध्य \(\sqrt{a \cdot b}\) होता है — यानी वह मान x जहाँ \(a/x = x/b\) हो।
क्या p और q बराबर हो सकते हैं? हाँ। अगर \(p = q\) हो, तो लंब के पाद पर त्रिभुज समद्विबाहु समकोण बन जाता है, और ऊँचाई प्रत्येक खंड के बराबर होती है।
अगर मुझे केवल भुजाएँ मालूम हों तो? ऐसी स्थिति में सामान्य पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें; यह टूल विशेष रूप से खंड-आधारित ज्यामितीय माध्य संबंधों के लिए है।
