Что такое подобные прямоугольные треугольники?
Если из вершины прямого угла прямоугольного треугольника опустить высоту на гипотенузу, она разделит исходный треугольник на два меньших. При этом все три треугольника — исходный и две его части — подобны между собой. Именно из этого подобия и вытекают знаменитые соотношения среднего геометрического (их ещё называют свойствами высоты прямоугольного треугольника). Благодаря им можно найти высоту и оба катета, зная лишь два отрезка, на которые высота делит гипотенузу.
Как пользоваться калькулятором
Введите два отрезка гипотенузы — p и q. Отрезок p прилегает к одному катету, а q — к другому; вместе они составляют всю гипотенузу. Калькулятор выдаст высоту h, полную длину гипотенузы и оба катета.
Разбор формулы
Высота, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков: $$h = \sqrt{\text{p} \cdot \text{q}}$$ Каждый катет — это среднее геометрическое всей гипотенузы и прилегающего к нему отрезка: $$a = \sqrt{\text{p} \cdot (\text{p}+\text{q})} \qquad b = \sqrt{\text{q} \cdot (\text{p}+\text{q})}$$ Эти формулы напрямую следуют из пропорций между подобными треугольниками.
Пример решения
Пусть \(p = 4\) и \(q = 9\). Тогда гипотенуза равна \(4 + 9 = 13\). Высота составляет $$\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$$ Катеты равны $$\sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52} \approx 7{,}2111 \qquad \sqrt{9 \cdot 13} = \sqrt{117} \approx 10{,}8167$$ Проверить результат можно по теореме Пифагора: $$7{,}2111^2 + 10{,}8167^2 \approx 52 + 117 = 169 = 13^2$$
Частые вопросы
Что такое среднее геометрическое? Среднее геометрическое двух чисел a и b — это \(\sqrt{a \cdot b}\), то есть такое значение x, при котором \(a/x = x/b\).
Могут ли p и q быть равны? Да. Если \(p = q\), то треугольник равнобедренный относительно основания высоты, и высота равна каждому из отрезков.
А если известны только катеты? Тогда используйте обычную теорему Пифагора — этот калькулятор предназначен именно для соотношений среднего геометрического, основанных на отрезках гипотенузы.
