Что такое калькулятор арксинуса (sin⁻¹)?
Арксинус, который записывают как \(\sin^{-1}(x)\) или \(\arcsin(x)\), — это функция, обратная синусу. Для заданного отношения \(x\) в пределах от -1 до 1 она возвращает угол \(\theta\), синус которого равен этому значению. Наш калькулятор сразу выдаёт этот угол одновременно в градусах и радианах.
Как пользоваться калькулятором
Введите любое значение \(x\) в диапазоне \(-1 \le x \le 1\) — и калькулятор вычислит $$\theta = \arcsin(x).$$ У чисел вне этого диапазона нет действительного арксинуса, поэтому введённые значения автоматически ограничиваются допустимым интервалом. Результат для удобства показывается сразу в градусах и в радианах.
Разбираем формулу
Главное значение арксинуса определено на области \([-1, 1]\) и даёт результат (главный угол) в пределах \([-90°, 90°]\), или \([-\pi/2, \pi/2]\) в радианах. Внутри калькулятор сначала считает значение в радианах, а затем переводит его в градусы по формуле $$\theta_{\text{град}} = \theta_{\text{рад}} \times \frac{180}{\pi}.$$
Пример с решением
Допустим, \(x = 0{,}5\). Угол, синус которого равен 0,5, составляет 30°. В радианах $$\arcsin(0{,}5) = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}523599 \text{ рад}.$$ Аналогично \(\arcsin(1) = 90° = \pi/2 \approx 1{,}570796\) рад, а \(\arcsin(0) = 0°\).
Частые вопросы
Почему x должен быть в пределах от -1 до 1? Потому что синус любого действительного угла всегда лежит между -1 и 1, поэтому ни у одного действительного угла нет синуса за пределами этого диапазона.
В каком диапазоне находятся ответы? Главное значение арксинуса возвращает углы от -90° до 90° (от -π/2 до π/2 радиан).
Как перевести результат в радианы? Калькулятор уже показывает оба варианта; чтобы сделать это вручную, умножьте градусы на \(\pi/180\).
Ключевые термины и определения
- Арксинус / обратный синус
- Обратная функция синуса. При заданном отношении \(x\) функция \(\arcsin(x)\) возвращает угол \(\theta\) такой, что \(\sin(\theta) = x\). Это "отменяет" операцию синуса.
- Главное значение
- Поскольку синус периодическая функция, бесконечно много углов имеют одинаковый синус. Чтобы сделать арксинус хорошо определённой функцией, он возвращает одно стандартное значение, называемое главным значением, из диапазона \([-90^\circ, 90^\circ]\).
- Область определения
- Множество допустимых входных данных для арксинуса: \(-1 \le x \le 1\). Значения вне этого интервала не имеют реального арксинуса, поскольку синус никогда не превышает \(1\) и не опускается ниже \(-1\).
- Область значений
- Множество возможных выходных данных: \([-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]\) радиан, эквивалентно \([-90^\circ, 90^\circ]\). Каждый результат арксинуса находится в этом диапазоне.
- Радиан и градус
- Две единицы измерения углов. Полный круг равен \(360^\circ\) или \(2\pi\) радиан, поэтому \(180^\circ = \pi\) радиан. Преобразование: \(\text{радианы} = \text{градусы}\times\tfrac{\pi}{180}\). Радианы — это стандартная единица в математическом анализе и большинстве языков программирования.
- Обозначение: \(\sin^{-1}(x)\) и \((\sin x)^{-1}\)
- Показатель степени \(-1\) в \(\sin^{-1}(x)\) обозначает обратную функцию (арксинус), а не обратное число. Напротив, \((\sin x)^{-1} = \tfrac{1}{\sin x} = \csc x\) — это косеканс. Это различные операции, поэтому скобки имеют значение.
