Qu'est-ce que la calculatrice d'arcsinus (Sin⁻¹) ?
L'arcsinus, noté \(\sin^{-1}(x)\) ou \(\arcsin(x)\), est la fonction réciproque du sinus. À partir d'un rapport x compris entre -1 et 1, elle renvoie l'angle θ dont le sinus est égal à cette valeur. Cette calculatrice vous donne instantanément cet angle, à la fois en degrés et en radians.
Comment l'utiliser
Saisissez n'importe quelle valeur x dans l'intervalle \(-1 \le x \le 1\) et la calculatrice renvoie $$\theta = \sin^{-1}\!\left(\text{Value (x)}\right)$$ Les valeurs situées en dehors de cet intervalle n'ont pas d'arcsinus réel : les saisies sont donc ramenées (clampées) à l'intervalle valide. Le résultat s'affiche aussi bien en degrés qu'en radians, pour plus de commodité.
La formule expliquée
La valeur principale de l'arcsinus est définie sur le domaine \([-1, 1]\) et produit une sortie (l'angle principal) dans l'intervalle \([-90°, 90°]\), soit \([-\pi/2, \pi/2]\) radians. En interne, la calculatrice détermine la valeur en radians puis la convertit en degrés à l'aide de la formule $$\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$
Exemple concret
Prenons \(x = 0{,}5\). L'angle dont le sinus vaut 0,5 est 30°. En radians, $$\arcsin(0{,}5) = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}523599 \text{ rad}$$ De même, \(\arcsin(1) = 90° = \pi/2 \approx 1{,}570796\) rad, et \(\arcsin(0) = 0°\).
Termes clés & Définitions
- Arcsinus / sinus inverse
- L'inverse de la fonction sinus. Donnée une ratio \(x\), \(\arcsin(x)\) retourne l'angle \(\theta\) tel que \(\sin(\theta) = x\). Cela « annule » l'opération sinus.
- Valeur principale
- Parce que le sinus est périodique, infiniment d'angles partagent le même sinus. Pour que l'arcsinus soit une fonction bien définie, il retourne une seule réponse standard appelée la valeur principale, prise dans l'intervalle \([-90^\circ, 90^\circ]\).
- Domaine
- L'ensemble des entrées valides pour l'arcsinus : \(-1 \le x \le 1\). Les valeurs en dehors de cet intervalle n'ont pas d'arcsinus réel car le sinus ne dépasse jamais \(1\) ni ne descend en dessous de \(-1\).
- Plage
- L'ensemble des sorties possibles : \([-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]\) radians, équivalemment \([-90^\circ, 90^\circ]\). Chaque résultat d'arcsinus se situe dans cette bande.
- Radian vs. degré
- Deux unités pour mesurer les angles. Un cercle complet est \(360^\circ\) ou \(2\pi\) radians, donc \(180^\circ = \pi\) radians. Convertissez avec \(\text{radians} = \text{degrés}\times\tfrac{\pi}{180}\). Les radians sont la valeur par défaut en calcul et dans la plupart des langages de programmation.
- Notation : \(\sin^{-1}(x)\) vs. \((\sin x)^{-1}\)
- L'exposant \(-1\) dans \(\sin^{-1}(x)\) désigne la fonction inverse (arcsinus), non une réciproque. Par contraste, \((\sin x)^{-1} = \tfrac{1}{\sin x} = \csc x\), la cosécante. Ce sont des opérations différentes, donc les parenthèses sont importantes.
FAQ
Pourquoi x doit-il être compris entre -1 et 1 ? Parce que le sinus de n'importe quel angle réel est toujours compris entre -1 et 1 : aucun angle réel n'a donc un sinus en dehors de cet intervalle.
Dans quel intervalle se situent les résultats ? L'arcsinus principal renvoie des angles compris entre -90° et 90° (soit \(-\pi/2\) à \(\pi/2\) radians).
Comment convertir le résultat en radians ? La calculatrice affiche déjà les deux ; pour convertir manuellement, multipliez les degrés par \(\pi/180\).
