아크사인(Sin⁻¹) 계산기란?
아크사인은 \(\sin^{-1}(x)\) 또는 \(\arcsin(x)\)으로 표기하며, 사인 함수의 역함수입니다. -1과 1 사이의 비율 x가 주어지면, 사인 값이 그 값과 같아지는 각도 θ를 돌려줍니다. 이 계산기는 해당 각도를 도(°)와 라디안 두 가지로 즉시 보여 줍니다.
사용 방법
\(-1 \le x \le 1\) 범위의 값을 입력하면 계산기가 $$\theta = \arcsin(x)$$ 을 계산합니다. 이 범위를 벗어난 값은 실수 아크사인이 존재하지 않으므로, 입력값은 유효 구간 안으로 자동 조정됩니다. 결과는 편의를 위해 도(°)와 라디안으로 함께 표시됩니다.
공식 풀이
아크사인의 주값(principal value)은 정의역 \([-1, 1]\)에서 정의되며, 출력값(주각)은 \([-90°, 90°]\) 또는 \([-\pi/2, \pi/2]\) 라디안 범위에 들어갑니다. 계산기는 내부적으로 라디안으로 값을 구한 뒤, $$\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ 공식을 이용해 도(°)로 변환합니다.
계산 예시
예를 들어 \(x = 0.5\)라고 해 봅시다. 사인 값이 0.5가 되는 각도는 30°입니다. 라디안으로는 $$\arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6} \approx 0.523599 \text{ rad}$$ 입니다. 마찬가지로 \(\arcsin(1) = 90° = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796 \text{ rad}\)이고, \(\arcsin(0) = 0°\)입니다.
주요 용어 & 정의
- 아크사인 / 역사인
- 사인 함수의 역함수입니다. 주어진 비율 \(x\)에 대해 \(\arcsin(x)\)는 \(\sin(\theta) = x\)를 만족하는 각도 \(\theta\)를 반환합니다. 사인 연산을 "취소"합니다.
- 주값(주요값)
- 사인은 주기함수이므로 같은 사인을 가진 무수히 많은 각도가 존재합니다. 아크사인을 잘 정의된 함수로 만들기 위해, 범위 \([-90^\circ, 90^\circ]\)에서 취한 단일 표준 답변인 주값을 반환합니다.
- 정의역
- 아크사인의 유효한 입력의 집합: \(-1 \le x \le 1\). 이 구간 밖의 값들은 사인이 \(1\)을 초과하거나 \(-1\) 이하가 될 수 없으므로 실수 아크사인을 가지지 않습니다.
- 치역
- 가능한 출력의 집합: \([-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]\) 라디안, 동등하게 \([-90^\circ, 90^\circ]\). 모든 아크사인 결과는 이 범위 내에 속합니다.
- 라디안 vs. 도(도)법
- 각도를 측정하는 두 가지 단위입니다. 한 바퀴는 \(360^\circ\) 또는 \(2\pi\) 라디안이므로 \(180^\circ = \pi\) 라디안입니다. \(\text{라디안} = \text{도}\times\tfrac{\pi}{180}\)로 변환합니다. 라디안은 미적분학과 대부분의 프로그래밍 언어에서 기본값입니다.
- 표기법: \(\sin^{-1}(x)\) vs. \((\sin x)^{-1}\)
- \(\sin^{-1}(x)\)의 위첨자 \(-1\)은 역함수(아크사인)를 나타내며, 역수가 아닙니다. 반대로 \((\sin x)^{-1} = \tfrac{1}{\sin x} = \csc x\)는 코시컨트입니다. 이들은 서로 다른 연산이므로 괄호가 중요합니다.
자주 묻는 질문
왜 x는 -1과 1 사이여야 하나요? 임의의 실수 각도에 대한 사인 값은 항상 -1과 1 사이에 있기 때문입니다. 따라서 이 범위를 벗어난 사인 값을 갖는 실수 각도는 존재하지 않습니다.
답은 어떤 범위에서 나오나요? 주값 아크사인은 -90°에서 90°(\(-\pi/2\)에서 \(\pi/2\) 라디안) 사이의 각도를 돌려줍니다.
결과를 라디안으로 어떻게 변환하나요? 계산기가 이미 두 단위를 모두 보여 주지만, 직접 변환하려면 도(°) 값에 \(\frac{\pi}{180}\)을 곱하면 됩니다.
