什么是反正弦（Sin⁻¹）计算器？
反正弦记作 \(\sin^{-1}(x)\) 或 \(\arcsin(x)\)，是正弦函数的反函数。给定一个介于 -1 到 1 之间的比值 \(x\)，它会返回正弦值等于该数的角度 \(\theta\)。本计算器可以即时给出该角度，同时显示角度（度）和弧度两种结果。
如何使用
输入任意一个满足 \(-1 \le x \le 1\) 的数值 \(x\)，计算器即可返回 $$\theta = \sin^{-1}\!\left(\text{Value (x)}\right)$$ 超出此范围的数值没有实数反正弦解，因此输入会被自动限制在有效区间内。为方便查看，结果会同时以度和弧度两种形式呈现。
公式详解
反正弦的主值定义在 \([-1, 1]\) 这一定义域上，其输出（主值角）落在 \([-90°, 90°]\) 区间，即 \([-\pi/2, \pi/2]\) 弧度。计算器内部先以弧度计算结果，再通过公式 $$\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ 换算为角度。
实例演算
假设 \(x = 0.5\)。正弦值为 \(0.5\) 的角度是 \(30°\)。换算成弧度，$$\arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6} \approx 0.523599 \text{ 弧度}$$ 同理，\(\arcsin(1) = 90° = \pi/2 \approx 1.570796\) 弧度，\(\arcsin(0) = 0°\)。
关键术语与定义
- 反正弦 / 反正弦函数
- 正弦函数的反函数。给定一个比值 \(x\)，\(\arcsin(x)\) 返回角度 \(\theta\)，使得 \(\sin(\theta) = x\)。它"撤销"正弦运算。
- 主值
- 因为正弦是周期函数，无穷多个角度共享相同的正弦值。为了使反正弦成为良定义的函数，它返回一个单一的标准答案，称为主值，取自范围 \([-90^\circ, 90^\circ]\)。
- 定义域
- 反正弦的有效输入集合：\(-1 \le x \le 1\)。超出此区间的值没有实反正弦，因为正弦永远不会超过 \(1\) 或低于 \(-1\)。
- 值域
- 可能输出的集合：\([-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]\) 弧度，等价于 \([-90^\circ, 90^\circ]\)。每个反正弦结果都落在此范围内。
- 弧度与度数
- 两种角度测量单位。一个完整圆周是 \(360^\circ\) 或 \(2\pi\) 弧度，所以 \(180^\circ = \pi\) 弧度。用 \(\text{弧度} = \text{度数}\times\tfrac{\pi}{180}\) 转换。弧度是微积分和大多数编程语言中的默认单位。
- 记号：\(\sin^{-1}(x)\) 与 \((\sin x)^{-1}\)
- 上标 \(-1\) 在 \(\sin^{-1}(x)\) 中表示反函数（反正弦），不是倒数。相比之下，\((\sin x)^{-1} = \tfrac{1}{\sin x} = \csc x\)，即余割。这些是不同的运算，所以括号很重要。
常见问题
为什么 \(x\) 必须介于 -1 和 1 之间？因为任意实数角度的正弦值始终落在 -1 到 1 之间，所以不存在正弦值超出该范围的实数角度。
计算结果的取值范围是多少？反正弦主值返回的角度范围是 \(-90°\) 到 \(90°\)（即 \(-\pi/2\) 到 \(\pi/2\) 弧度）。
如何把结果换算成弧度？计算器已同时显示两种结果；若想手动换算，只需将角度乘以 \(\pi/180\) 即可。
