什麼是反正弦（Sin⁻¹）計算機？
反正弦寫作 \(\sin^{-1}(x)\) 或 \(\arcsin(x)\)，是正弦函數的反函數。當你給定一個介於 -1 與 1 之間的比值 \(x\)，它會回傳一個角度 \(\theta\)，使得這個角度的正弦值正好等於 \(x\)。本計算機會立即將該角度同時以「度」與「弧度」兩種單位呈現。
使用方式
只要輸入 \(-1 \le x \le 1\) 範圍內的任意數值 \(x\)，計算機就會算出 $$\theta = \arcsin(x)$$ 超出此範圍的數值在實數中沒有對應的反正弦，因此輸入會自動被限制在有效區間內。為方便對照，結果會同時以度數與弧度顯示。
公式說明
反正弦的主值定義在 \([-1, 1]\) 這個定義域上，輸出的角度（主值角）落在 \([-90°, 90°]\)，也就是 \([-\pi/2, \pi/2]\) 弧度。計算機在內部以弧度計算，再透過 $$\theta_{deg} = \theta_{rad} \times \frac{180}{\pi}$$ 換算為度數。
實例演算
假設 \(x = 0.5\)。正弦值為 \(0.5\) 的角度是 \(30°\)。換算成弧度，$$\arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6} \approx 0.523599 \text{ 弧度}$$ 同樣地，\(\arcsin(1) = 90° = \pi/2 \approx 1.570796\) 弧度，而 \(\arcsin(0) = 0°\)。
關鍵術語與定義
- 反正弦 / 反正弦函數
- 正弦函數的反函數。給定比值 \(x\)，\(\arcsin(x)\) 返回角度 \(\theta\) 使得 \(\sin(\theta) = x\)。它「反轉」正弦操作。
- 主值
- 因為正弦是週期性的，無窮多個角度擁有相同的正弦值。為了使反正弦成為良定義的函數，它返回一個單一的標準答案稱為主值，取自範圍 \([-90^\circ, 90^\circ]\)。
- 定義域
- 反正弦的有效輸入集合：\(-1 \le x \le 1\)。超出此區間的值沒有實數反正弦，因為正弦永遠不超過 \(1\) 或低於 \(-1\)。
- 值域
- 可能輸出的集合：\([-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]\) 弧度，等價於 \([-90^\circ, 90^\circ]\)。每個反正弦結果都落在此範圍內。
- 弧度 vs. 度
- 測量角度的兩個單位。完整圓是 \(360^\circ\) 或 \(2\pi\) 弧度，所以 \(180^\circ = \pi\) 弧度。轉換公式為 \(\text{弧度} = \text{度}\times\tfrac{\pi}{180}\)。弧度是微積分和大多數程式設計語言的預設單位。
- 記號：\(\sin^{-1}(x)\) vs. \((\sin x)^{-1}\)
- 上標 \(-1\) 在 \(\sin^{-1}(x)\) 中表示反函數（反正弦），不是倒數。相比之下，\((\sin x)^{-1} = \tfrac{1}{\sin x} = \csc x\)，即餘割。這些是不同的操作，所以括號很重要。
常見問題
為什麼 \(x\) 必須介於 -1 與 1 之間？因為任何實數角度的正弦值永遠落在 -1 到 1 之間，所以沒有任何實數角度的正弦值會超出這個範圍。
答案的範圍是多少？反正弦的主值會回傳 \(-90°\) 到 \(90°\)（即 \(-\pi/2\) 到 \(\pi/2\) 弧度）之間的角度。
要如何把結果換算成弧度？計算機已同時顯示兩種單位；若要手動換算，將度數乘以 \(\pi/180\) 即可。
