आर्कसाइन (Sin⁻¹) कैलकुलेटर क्या है?

आर्कसाइन, जिसे $\sin^{-1}(x)$ या $\arcsin(x)$ लिखा जाता है, साइन फ़ंक्शन का इनवर्स (विलोम) है। जब आप −1 और 1 के बीच कोई अनुपात $x$ देते हैं, तो यह वह कोण $\theta$ लौटाता है जिसका साइन उस मान के बराबर होता है। यह कैलकुलेटर उस कोण को तुरंत डिग्री और रेडियन — दोनों में दिखा देता है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

$-1 \le x \le 1$ की सीमा में कोई भी मान $x$ दर्ज करें और कैलकुलेटर $$\theta = \arcsin(x)$$ निकाल देगा। इस सीमा के बाहर के मानों का कोई वास्तविक (real) आर्कसाइन नहीं होता, इसलिए इनपुट को इसी मान्य अंतराल तक सीमित कर दिया जाता है। सुविधा के लिए परिणाम डिग्री और रेडियन — दोनों रूपों में दिखाया जाता है।

फ़ॉर्मूला समझें

आर्कसाइन का मुख्य मान (principal value) $[-1, 1]$ के डोमेन पर परिभाषित होता है और इसका आउटपुट (मुख्य कोण) $[-90°, 90°]$ या रेडियन में $[-\pi/2, \pi/2]$ की सीमा में होता है। आंतरिक रूप से कैलकुलेटर पहले मान को रेडियन में निकालता है और फिर $$\theta_{deg} = \theta_{rad} \times \frac{180}{\pi}$$ के ज़रिए उसे डिग्री में बदल देता है।

arcsin(x) वक्र का ग्राफ जिसका प्रांत -1 से 1 और परिसर -pi/2 से pi/2 तक है — आर्कसाइन वक्र: प्रांत −1 ≤ x ≤ 1, परिसर −π/2 से π/2 तक।

इकाई वृत्त जो कोण थीटा दिखाता है जिसका साइन x के बराबर है — आर्कसाइन वह कोण θ देता है जिसका साइन इनपुट मान x के बराबर होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $x = 0.5$ है। जिस कोण का साइन $0.5$ होता है वह $30°$ है। रेडियन में, $$\arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6} \approx 0.523599 \text{ रेडियन}$$ इसी तरह, $\arcsin(1) = 90° = \pi/2 \approx 1.570796$ रेडियन, और $\arcsin(0) = 0°$।

मुख्य शब्द और परिभाषाएँ

आर्कसाइन / प्रतिलोम साइन: साइन फ़ंक्शन का प्रतिलोम। एक अनुपात $x$ दिए गए, $\arcsin(x)$ वह कोण $\theta$ देता है जैसे कि $\sin(\theta) = x$। यह साइन संक्रिया को "पूर्ववत" करता है।
प्रमुख मान: चूँकि साइन आवर्ती है, अनंत कोण एक ही साइन साझा करते हैं। आर्कसाइन को एक सुपरिभाषित फ़ंक्शन बनाने के लिए, यह एक एकल मानक उत्तर देता है जिसे प्रमुख मान कहा जाता है, जो श्रेणी $[-90^\circ, 90^\circ]$ से लिया जाता है।
डोमेन: आर्कसाइन के लिए मान्य इनपुट का समुच्चय: $-1 \le x \le 1$। इस अंतराल के बाहर के मान का कोई वास्तविक आर्कसाइन नहीं है क्योंकि साइन कभी $1$ से अधिक नहीं होता या $-1$ से नीचे नहीं गिरता।
परिसर: संभावित आउटपुट का समुच्चय: $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$ रेडियन, समतुल्य $[-90^\circ, 90^\circ]$। हर आर्कसाइन परिणाम इस बैंड के भीतर आता है।
रेडियन बनाम डिग्री: कोणों को मापने के लिए दो इकाइयाँ। एक पूर्ण चक्र $360^\circ$ या $2\pi$ रेडियन है, इसलिए $180^\circ = \pi$ रेडियन। $\text{रेडियन} = \text{डिग्री}\times\tfrac{\pi}{180}$ से परिवर्तित करें। रेडियन कलन और अधिकांश प्रोग्रामिंग भाषाओं में डिफ़ॉल्ट हैं।
संकेतन: $\sin^{-1}(x)$ बनाम $(\sin x)^{-1}$: $\sin^{-1}(x)$ में सुपरस्क्रिप्ट $-1$ प्रतिलोम फ़ंक्शन (आर्कसाइन) को दर्शाता है, व्युत्क्रम नहीं। इसके विपरीत, $(\sin x)^{-1} = \tfrac{1}{\sin x} = \csc x$, कोसेकेंट है। ये विभिन्न संक्रियाएँ हैं, इसलिए कोष्ठक महत्वपूर्ण हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

$x$ का मान −1 और 1 के बीच ही क्यों होना चाहिए? क्योंकि किसी भी वास्तविक कोण का साइन हमेशा −1 और 1 के बीच ही रहता है, इसलिए इस सीमा के बाहर के साइन वाला कोई वास्तविक कोण मौजूद नहीं होता।

उत्तर किस सीमा में आते हैं? मुख्य आर्कसाइन −90° से 90° (यानी −π/2 से π/2 रेडियन) के बीच के कोण लौटाता है।

परिणाम को रेडियन में कैसे बदलें? कैलकुलेटर पहले से ही दोनों रूप दिखा देता है; हाथ से बदलने के लिए डिग्री को $\pi/180$ से गुणा करें।

Sin⁻¹ (आर्कसाइन) कैलकुलेटर

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