アークサイン（sin⁻¹）計算ツールとは？
アークサイン（逆正弦）は \(\sin^{-1}(x)\) または \(\arcsin(x)\) と書き、正弦（サイン）関数の逆関数です。-1 から 1 までの比率 \(x\) を入力すると、その値に等しい正弦をもつ角度 \(\theta\) を返します。この計算ツールは、その角度を度数（°）とラジアンの両方で瞬時に表示します。
使い方
\(-1 \le x \le 1\) の範囲で任意の値 \(x\) を入力すると、$$\theta = \arcsin(x)$$ が表示されます。この範囲外の値には実数のアークサインが存在しないため、入力は有効な区間に自動で丸められます。結果は度数とラジアンの両方で表示されるので便利です。
計算式の解説
アークサインの主値は定義域 \([-1, 1]\) で定義され、出力（主値の角度）は \([-90°, 90°]\)、つまりラジアンでは \([-\pi/2, \pi/2]\) の範囲になります。内部ではまずラジアンで計算し、$$\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ の式を使って度数に変換しています。
計算例
\(x = 0.5\) とします。正弦が 0.5 となる角度は 30° です。ラジアンでは $$\arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6} \approx 0.523599 \text{ rad}$$ となります。同様に、\(\arcsin(1) = 90° = \pi/2 \approx 1.570796 \text{ rad}\)、\(\arcsin(0) = 0°\) です。
主要用語と定義
- アークサイン / 逆正弦
- 正弦関数の逆関数。比率 \(x\) が与えられたとき、\(\arcsin(x)\) は \(\sin(\theta) = x\) となる角度 \(\theta\) を返します。正弦操作を「打ち消す」ものです。
- 主値
- 正弦は周期関数であるため、無限に多くの角度が同じ正弦値を持ちます。アークサインを良定義の関数にするため、\([-90^\circ, 90^\circ]\) の範囲から取った主値と呼ばれる単一の標準答を返します。
- 定義域
- アークサインの有効な入力の集合：\(-1 \le x \le 1\)。この区間の外の値には実数のアークサインが存在しません。正弦は決して \(1\) を超えることなく、\(-1\) より下回ることがないからです。
- 値域
- 可能な出力の集合：\([-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]\) ラジアン、同等に \([-90^\circ, 90^\circ]\)。すべてのアークサイン結果はこの範囲内に収まります。
- ラジアン対度
- 角度を測定する2つの単位。完全な円は \(360^\circ\) または \(2\pi\) ラジアンであるため、\(180^\circ = \pi\) ラジアンです。\(\text{ラジアン} = \text{度}\times\tfrac{\pi}{180}\) で変換します。ラジアンは微積分と大多数のプログラミング言語でデフォルトです。
- 記法：\(\sin^{-1}(x)\) 対 \((\sin x)^{-1}\)
- \(\sin^{-1}(x)\) の上付き文字 \(-1\) は逆関数（アークサイン）を示し、逆数ではありません。対照的に、\((\sin x)^{-1} = \tfrac{1}{\sin x} = \csc x\) はコセカント（余割）です。これらは異なる操作であるため、括弧が重要です。
よくある質問
なぜ \(x\) は -1 から 1 の間でなければならないのですか？ どんな実数の角度でも、その正弦の値は必ず -1 から 1 の間に収まります。そのため、この範囲外の正弦をもつ実数の角度は存在しないからです。
答えはどの範囲で返されますか？ アークサインの主値は -90° から 90°（ラジアンでは \(-\pi/2\) から \(\pi/2\)）の角度を返します。
結果をラジアンに変換するには？ この計算ツールでは両方が表示されますが、手動で変換する場合は度数に \(\pi/180\) を掛けます。
