ما هي حاسبة الجيب العكسي (Sin⁻¹)؟

الجيب العكسي، ويُكتب على هيئة $\sin^{-1}(x)$ أو $\arcsin(x)$، هو الدالة العكسية لدالة الجيب (sine). فإذا أعطيتها نسبة $x$ تقع بين -1 و 1، فإنها تُرجِع لك الزاوية $\theta$ التي يساوي جيبها هذه القيمة. تحسب هذه الأداة تلك الزاوية على الفور وتعرضها بالدرجات والراديان معًا.

طريقة الاستخدام

أدخل أي قيمة $x$ ضمن المجال ‎$-1 \le x \le 1$‎، وستعيد لك الحاسبة الناتج $$\theta = \arcsin(x).$$ أما القيم الواقعة خارج هذا المجال فليس لها جيب عكسي حقيقي، لذلك تُحصَر المدخلات تلقائيًا داخل الفترة الصالحة. وتُعرض النتيجة بالدرجات والراديان معًا تسهيلًا عليك.

شرح المعادلة

تُعرَّف القيمة الأساسية للجيب العكسي على المجال $[-1, 1]$، وتُنتِج مخرجًا (الزاوية الأساسية) ضمن المدى $[-90°, 90°]$، أو $[-\pi/2, \pi/2]$ بالراديان. وتقوم الحاسبة داخليًا بحساب القيمة بالراديان ثم تحويلها إلى درجات باستخدام العلاقة: $$\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}.$$

اعلان

رسم بياني لمنحنى arcsin(x) بمجال من -1 إلى 1 ومدى من -pi/2 إلى pi/2 — منحنى قوس الجيب: المجال −1 ≤ x ≤ 1، المدى من −π/2 إلى π/2.

دائرة الوحدة تُظهر الزاوية ثيتا التي يساوي جيبها x — تُرجع دالة قوس الجيب الزاوية θ التي يساوي جيبها قيمة الإدخال x.

مثال محلول

لنفترض أن $x = 0.5$. الزاوية التي يساوي جيبها 0.5 هي 30°. وبالراديان: $$\arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6} \approx 0.523599 \text{ راديان}.$$ وبالمثل: $\arcsin(1) = 90° = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796$ راديان، و $\arcsin(0) = 0°$.

اعلان

المصطلحات والتعريفات الأساسية

دالة الجيب العكسية / الأركسين: معكوس دالة الجيب. بمعلومية نسبة $x$، تُرجع الدالة $\arcsin(x)$ الزاوية $\theta$ بحيث يكون $\sin(\theta) = x$. إنها "تعكس" عملية الجيب.
القيمة الرئيسية: بما أن دالة الجيب دورية، فإن عدداً لانهائياً من الزوايا تشترك في نفس قيمة الجيب. لجعل دالة الأركسين محددة جيداً، تُرجع قيمة معيارية واحدة تسمى القيمة الرئيسية، مأخوذة من النطاق $[-90^\circ, 90^\circ]$.
المجال: مجموعة المدخلات الصحيحة للأركسين: $-1 \le x \le 1$. القيم خارج هذا الفترة ليس لها أركسين حقيقي لأن الجيب لا يتجاوز $1$ أو ينخفض تحت $-1$.
المدى: مجموعة المخرجات الممكنة: $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$ راديان، أو ما يعادله $[-90^\circ, 90^\circ]$. تقع كل نتيجة أركسين ضمن هذا النطاق.
الراديان مقابل الدرجات: وحدتان لقياس الزوايا. الدائرة الكاملة هي $360^\circ$ أو $2\pi$ راديان، وبالتالي $180^\circ = \pi$ راديان. التحويل يتم باستخدام $\text{الراديان} = \text{الدرجات}\times\tfrac{\pi}{180}$. الراديان هي الوحدة الافتراضية في التفاضل والتكامل ومعظم لغات البرمجة.
الترميز: $\sin^{-1}(x)$ مقابل $(\sin x)^{-1}$: الأس $-1$ في $\sin^{-1}(x)$ يشير إلى الدالة العكسية (الأركسين)، وليس المقلوب. على النقيض، $(\sin x)^{-1} = \tfrac{1}{\sin x} = \csc x$، وهي دالة قاطع التمام. هذه عمليات مختلفة، لذلك تؤدي الأقواس دوراً مهماً.

الأسئلة الشائعة

لماذا يجب أن تكون $x$ بين -1 و 1؟ لأن جيب أي زاوية حقيقية يقع دائمًا بين -1 و 1، ومن ثَمّ لا توجد زاوية حقيقية يخرج جيبها عن هذا المجال.

ما هو مدى النتائج؟ يُرجِع الجيب العكسي الأساسي زوايا تتراوح من -90° إلى 90° (أي من ‎$-\pi/2$‎ إلى ‎$\pi/2$‎ بالراديان).

كيف أحوِّل النتيجة إلى الراديان؟ الحاسبة تعرض القيمتين معًا أصلًا، أما للتحويل يدويًا فاضرب قيمة الدرجات في $\pi/180$.

حاسبة الجيب العكسي (Sin⁻¹)

أدخل الحساب

صيغة رياضية

نتائج