ما هو قانون الجيوب؟
يربط قانون الجيوب بين أضلاع أي مثلث وجيوب الزوايا المقابلة لها؛ إذ تكون نسبة طول كل ضلع إلى جيب الزاوية التي تقابله نسبةً ثابتة في الأضلاع الثلاثة جميعها. وهو من الأدوات الأساسية في علم المثلثات لحل المثلثات غير القائمة الزاوية، ويصلح للمثلثات الحادة والقائمة والمنفرجة على حدٍ سواء.
كيفية استخدام الحاسبة
تعتمد هذه الحاسبة على حالة AAS/ASA (زاويتان وضلع). أدخل ضلعًا معلومًا واحدًا (a) مع الزاوية المقابلة له (A) وزاويةً ثانية (B). تحسب الأداة أولًا الزاوية الثالثة وفق العلاقة \(C = 180^{\circ} - A - B\)، ثم تطبّق قانون الجيوب لإيجاد الضلعين المتبقيين b وc. كما تعرض محيط المثلث ومساحته.
شرح الصيغة
انطلاقًا من العلاقة $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ نقسم الضلع المعلوم على جيب زاويته المقابلة للحصول على النسبة الثابتة \(k = a / \sin A\). ويُحسب كل ضلع مجهول بضرب هذه النسبة في جيب الزاوية المقابلة له: \(b = k \cdot \sin B\) و \(c = k \cdot \sin C\). أما المساحة فتُحسب بالصيغة \(\tfrac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin C\).
مثال محلول
لنفترض أن \(a = 10\) و \(A = 40^{\circ}\) و \(B = 60^{\circ}\). عندئذٍ تكون $$C = 180 - 40 - 60 = 80^{\circ}$$ وتساوي النسبة $$k = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx \frac{10}{0.642788} \approx 15.5572$$ ومن ثَمّ $$b = 15.5572 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.4730$$ $$c = 15.5572 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.3209$$ ويبلغ المحيط نحو 38.79 والمساحة نحو 66.34 وحدة مربعة.
الأسئلة الشائعة
ما الحالات التي تتعامل معها هذه الحاسبة؟ تتعامل مع حالتي AAS وASA، أي عندما تعرف زاويتين وضلعًا واحدًا. أما في حالة SSA (ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما) فقد تظهر الحالة الغامضة بأكثر من حل ممكن.
لماذا يجب أن يكون مجموع الزاويتين أقل من 180°؟ لأن مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي 180° بالضبط دائمًا، لذا يجب أن يكون \(A + B\) أقل من 180° حتى يكون المثلث صحيحًا.
هل تُدخل الزوايا بالدرجات أم بالراديان؟ أدخل الزوايا بالدرجات؛ وتقوم الحاسبة داخليًا بتحويلها إلى راديان لتطبيق الدوال المثلثية.
