Что такое теорема синусов?
Теорема синусов связывает стороны произвольного треугольника с синусами противолежащих углов: отношение длины стороны к синусу угла, лежащего напротив неё, одинаково для всех трёх сторон. Это один из ключевых инструментов тригонометрии для решения непрямоугольных треугольников, и он работает одинаково хорошо для остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников.
Как пользоваться калькулятором
Этот калькулятор рассчитан на случаи УУС/УСУ (когда известны два угла и сторона). Введите одну известную сторону (a) вместе с противолежащим ей углом (A) и ещё одним углом (B). Сначала калькулятор находит третий угол по формуле \(C = 180^{\circ} - A - B\), а затем по теореме синусов вычисляет оставшиеся стороны b и c. Дополнительно он показывает периметр и площадь треугольника.
Разбор формулы
Исходим из равенства $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ Разделив известную сторону на синус противолежащего угла, получаем общий коэффициент \(k = a / \sin A\). Тогда каждая неизвестная сторона равна этому коэффициенту, умноженному на синус своего противолежащего угла: \(b = k \cdot \sin B\) и \(c = k \cdot \sin C\). Площадь вычисляется по формуле \(\tfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\).
Пример расчёта
Пусть a = 10, A = 40° и B = 60°. Тогда \(C = 180 - 40 - 60 = 80^{\circ}\). Коэффициент \(k = 10 / \sin 40^{\circ} \approx 10 / 0{,}642788 \approx 15{,}5572\). Отсюда \(b = 15{,}5572 \times \sin 60^{\circ} \approx 13{,}4730\), а \(c = 15{,}5572 \times \sin 80^{\circ} \approx 15{,}3209\). Периметр составляет около 38,79, а площадь — примерно 66,34 квадратных единицы.
Частые вопросы
Какие случаи решает этот калькулятор? Он работает со случаями УУС и УСУ — когда известны два угла и одна сторона. Для случая ССУ (две стороны и угол, не лежащий между ними) может возникнуть неоднозначность решения.
Почему сумма углов должна быть меньше 180°? Потому что сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна ровно 180°, поэтому для существования треугольника сумма A + B обязательно должна быть меньше 180°.
В градусах или радианах вводить углы? Углы вводите в градусах — калькулятор сам переводит их в радианы для тригонометрических вычислений.
