Что делает этот калькулятор
Теорема синусов связывает каждую сторону треугольника с синусом противолежащего ей угла. По стандартному обозначению сторона a лежит напротив угла A, сторона b — напротив угла B, а сторона c — напротив угла C. Этот инструмент находит один неизвестный угол или одну неизвестную сторону по трём заданным величинам, а затем выводит полностью решённый треугольник: все три стороны, все три угла, а также производные значения — периметр, полупериметр, площадь, радиус вписанной и радиус описанной окружностей.
Как пользоваться
Выберите режим расчёта из выпадающего списка. Подпись точно показывает, что дано и что нужно найти. Например, «Угол A по a, B, b» означает, что вы задаёте сторону a, угол B и сторону b, а калькулятор вычисляет угол A. На экране появляются только три нужных поля. Укажите, в чём заданы углы — в градусах или радианах, — выберите единицу длины (это лишь подпись, ведь теорема синусов не зависит от масштаба) и задайте число значащих цифр для результата.
Разбор формулы
Чтобы найти неизвестный угол X, калькулятор использует формулу $$X = \sin^{-1}\left(\frac{\text{сторона напротив } X \times \sin(\text{известный угол})}{\text{сторона напротив известного угла}}\right).$$ Чтобы найти неизвестную сторону, применяется формула: $$\text{искомая сторона} = \frac{\text{известная сторона} \times \sin(\text{угол напротив искомой стороны})}{\sin(\text{угол напротив известной стороны})}.$$ Третий угол всегда равен \(180^\circ\) минус сумма двух известных углов. Когда все стороны и углы найдены, площадь вычисляется по формуле Герона, радиус вписанной окружности — как \(r = K / s\), а радиус описанной окружности — как \(R = abc / (4K)\).
Разбор примера
Пусть дано: сторона a = 3, угол B = 40° и сторона b = 4 (режим «Угол A по a, B, b»). Тогда $$A = \sin^{-1}\left(\frac{3 \times \sin 40^\circ}{4}\right) = \sin^{-1}(0{,}482091) = 28{,}824^\circ.$$ Третий угол $$C = 180 - (28{,}824 + 40) = 111{,}176^\circ.$$ Сторона $$c = \frac{4 \times \sin(111{,}176^\circ)}{\sin(40^\circ)} = 5{,}80142.$$ Периметр = 12,8014, площадь \(K = 5{,}59603\), радиус вписанной окружности = 0,874281, радиус описанной окружности = 3,11008.
Частые вопросы
Почему может появиться сообщение «нет решения»? В режимах поиска угла значение под арксинусом должно быть не больше 1. Если оно превышает 1, ни одного действительного треугольника с такими размерами не существует.
Учитывается ли неоднозначный случай SSA (две стороны и угол не между ними)? Когда заданы две стороны и угол, не лежащий между ними, возможны два правильных треугольника. Этот калькулятор возвращает только острый вариант (главное значение арксинуса); второй возможный угол равен \(180^\circ\) минус найденный.
Влияют ли единицы длины на расчёт? Нет. Теорема синусов работает с отношениями, поэтому единица — это лишь подпись, а площадь показывается в квадрате выбранной единицы.
