Ce que fait ce calculateur
La loi des sinus relie chaque côté d'un triangle au sinus de l'angle qui lui est opposé. Selon la convention de notation habituelle, le côté a est opposé à l'angle A, le côté b à l'angle B et le côté c à l'angle C. Cet outil détermine un angle ou un côté manquant à partir de trois grandeurs connues, puis affiche le triangle entièrement résolu : les trois côtés, les trois angles, ainsi que le périmètre, le demi-périmètre, l'aire, le rayon inscrit et le rayon circonscrit qui en découlent.
Comment l'utiliser
Sélectionnez un mode de calcul dans le menu déroulant. L'intitulé précise exactement ce qui est donné et ce qui est calculé : par exemple, « Angle A à partir de a, B, b » signifie que vous fournissez le côté a, l'angle B et le côté b, et que le calculateur détermine l'angle A. Seuls les trois champs utiles s'affichent. Choisissez ensuite si vos angles sont en degrés ou en radians, sélectionnez une unité de longueur (purement décorative, car la loi des sinus ne dépend pas de l'échelle) et fixez le nombre de chiffres significatifs du résultat.
La formule expliquée
Pour trouver un angle manquant X, le calculateur applique \(X = \sin^{-1}\!\left(\dfrac{\text{côté opposé à X} \times \sin(\text{angle connu})}{\text{côté opposé à l'angle connu}}\right)\). Pour trouver un côté manquant, il utilise \(\text{côté cherché} = \dfrac{\text{côté connu} \times \sin(\text{angle opposé au côté cherché})}{\sin(\text{angle opposé au côté connu})}\). Le troisième angle vaut toujours 180° moins la somme des deux angles connus. La relation centrale est :
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$Une fois tous les côtés et angles déterminés, l'aire est calculée par la formule de Héron, le rayon inscrit par \(r = K / s\) et le rayon circonscrit par \(R = abc / (4K)\).
$$K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s=\tfrac{a+b+c}{2}$$
Exemple résolu
Avec le côté a = 3, l'angle B = 40° et le côté b = 4 (mode « Angle A à partir de a, B, b ») :
$$A = \sin^{-1}\!\left(\frac{3 \times \sin 40^\circ}{4}\right) = \sin^{-1}(0{,}482091) = 28{,}824^\circ$$Le troisième angle \(C = 180 - (28{,}824 + 40) = 111{,}176^\circ\). Le côté
$$c = \frac{4 \times \sin(111{,}176^\circ)}{\sin(40^\circ)} = 5{,}80142$$Périmètre = 12,8014, aire K = 5,59603, rayon inscrit = 0,874281, rayon circonscrit = 3,11008.
FAQ
Pourquoi le résultat peut-il indiquer « aucune solution » ? Dans les modes de calcul d'angle, la valeur passée à l'arcsinus doit être inférieure ou égale à 1. Si elle dépasse 1, aucun triangle réel ne correspond à ces mesures.
Gère-t-il le cas ambigu CCA (deux côtés et un angle non compris) ? Lorsqu'on donne deux côtés et un angle non compris entre eux, deux triangles valides peuvent exister. Ce calculateur ne renvoie que la solution aiguë (arcsinus principal) ; la seconde possibilité correspond à 180° moins cet angle.
Les unités de longueur modifient-elles le calcul ? Non. La loi des sinus repose sur des rapports : l'unité n'est qu'un libellé d'affichage et l'aire est exprimée dans cette unité au carré.
