यह कैलकुलेटर क्या करता है
साइन नियम (Law of Sines) त्रिभुज की हर भुजा को उसके सामने वाले कोण की साइन से जोड़ता है। मानक नामकरण के अनुसार, भुजा a कोण A के सामने होती है, भुजा b कोण B के सामने और भुजा c कोण C के सामने। यह टूल तीन ज्ञात मानों में से किसी एक लुप्त कोण या एक लुप्त भुजा को हल करता है, और फिर पूरा हल किया हुआ त्रिभुज दिखाता है: तीनों भुजाएँ, तीनों कोण, और उनसे निकाले गए परिमाप, अर्ध-परिमाप, क्षेत्रफल, अंतःत्रिज्या तथा परित्रिज्या।
इसका उपयोग कैसे करें
ड्रॉपडाउन से कोई एक गणना मोड चुनें। हर लेबल बिल्कुल साफ़ बताता है कि क्या दिया गया है और क्या हल किया जाएगा। उदाहरण के लिए, "Angle A from a, B, b" का मतलब है कि आप भुजा a, कोण B और भुजा b देंगे, और कैलकुलेटर कोण A निकालेगा। केवल वही तीन ज़रूरी फ़ील्ड दिखाई देंगे। चुनें कि आपके कोण डिग्री में हैं या रेडियन में, एक लंबाई-इकाई लेबल चुनें (यह केवल दिखावे के लिए है, क्योंकि साइन नियम पैमाने से स्वतंत्र होता है), और आउटपुट के लिए सार्थक अंकों की संख्या तय करें।
सूत्र की व्याख्या
किसी लुप्त कोण X को निकालने के लिए कैलकुलेटर यह प्रयोग करता है: \(X = \sin^{-1}\!\left(\frac{(\text{X के सामने वाली भुजा}) \times \sin(\text{ज्ञात कोण})}{\text{ज्ञात कोण के सामने वाली भुजा}}\right)\)। लुप्त भुजा निकालने के लिए: \(\text{हल की गई भुजा} = \frac{(\text{ज्ञात भुजा}) \times \sin(\text{हल की गई भुजा के सामने वाला कोण})}{\sin(\text{ज्ञात भुजा के सामने वाला कोण})}\)। तीसरा कोण हमेशा 180° में से दो ज्ञात कोणों का योग घटाकर मिलता है। जब हर भुजा और कोण ज्ञात हो जाते हैं, तो क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से, अंतःत्रिज्या \(r = K / s\) से, और परित्रिज्या \(R = abc / (4K)\) से निकाली जाती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए भुजा a = 3, कोण B = 40° और भुजा b = 4 (मोड "Angle A from a, B, b"):
$$A = \sin^{-1}\!\left(\frac{3 \times \sin 40^\circ}{4}\right) = \sin^{-1}(0.482091) = 28.824^\circ$$तीसरा कोण
$$C = 180 - (28.824 + 40) = 111.176^\circ$$भुजा
$$c = \frac{4 \times \sin(111.176^\circ)}{\sin(40^\circ)} = 5.80142$$परिमाप = 12.8014, क्षेत्रफल K = 5.59603, अंतःत्रिज्या = 0.874281, परित्रिज्या = 3.11008।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह "कोई हल नहीं" क्यों दिखा सकता है? कोण-हल मोड में arcsin के अंदर का मान 1 या उससे कम होना चाहिए। अगर यह 1 से अधिक हो जाए तो उन मापों के लिए कोई वास्तविक त्रिभुज मौजूद नहीं होता।
क्या यह अस्पष्ट (ambiguous) SSA स्थिति को संभालता है? जब दो भुजाएँ और उनके बीच न आने वाला कोण दिया जाए तो दो वैध त्रिभुज संभव हो सकते हैं। यह कैलकुलेटर केवल न्यून कोण वाला (मुख्य arcsin) हल देता है; दूसरी संभावना उस कोण को 180° में से घटाकर मिलती है।
क्या लंबाई की इकाइयाँ गणित को प्रभावित करती हैं? नहीं। साइन नियम अनुपातों पर आधारित है, इसलिए इकाई केवल एक डिस्प्ले लेबल है और क्षेत्रफल इकाई के वर्ग में दिखाया जाता है।
