कोसाइन नियम क्या है?
कोसाइन नियम किसी भी त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई को उसके किसी एक कोण के कोसाइन से जोड़ता है। इसे पाइथागोरस प्रमेय का विस्तृत रूप कहा जा सकता है: जब बीच का कोण 90° होता है, तो कोसाइन वाला पद शून्य हो जाता है और सूत्र सीधा \(c^2 = a^2 + b^2\) में बदल जाता है। यही वजह है कि जब आपको दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण पता हो (यानी SAS स्थिति), तो त्रिभुज हल करने के लिए यह सबसे काम का औज़ार बन जाता है।
इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
दोनों ज्ञात भुजाओं की लंबाई a और b डालें, और साथ में बीच का कोण C (इन दोनों भुजाओं के बीच का कोण, डिग्री में) भरें। कैलकुलेटर आपको तीसरी भुजा c, बाकी दोनों कोण A और B, और त्रिभुज का क्षेत्रफल बता देगा। ध्यान रहे कि कोण C का मान 0° और 180° के बीच होना चाहिए।
सूत्र को समझें
मूल समीकरण है
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$इसका वर्गमूल लेने पर आपको भुजा c मिल जाती है। जब तीनों भुजाएँ ज्ञात हो जाएँ, तो इसी नियम को फिर से व्यवस्थित करके बाकी कोण निकाले जाते हैं:
$$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$त्रिभुज का क्षेत्रफल SAS सूत्र से निकलता है, जो है
$$\text{क्षेत्रफल} = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(C)$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 5\), \(b = 7\), और \(C = 60°\) है। तब
$$c^2 = 25 + 49 - 2(5)(7)\cos(60°) = 74 - 70(0.5) = 74 - 35 = 39$$यानी \(c = \sqrt{39} \approx 6.245\)। क्षेत्रफल होगा
$$\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) = 17.5 \times 0.8660 \approx 15.16$$अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
कोसाइन नियम और साइन नियम में से कब किसका इस्तेमाल करें? SAS (दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण) या SSS (तीनों भुजाएँ) वाली समस्याओं के लिए कोसाइन नियम चुनें। जब आपके पास कोई कोण और उसके सामने वाली भुजा का जोड़ा हो, तब साइन नियम का इस्तेमाल करें।
कोण किस इकाई में डालना है? कोण को डिग्री में डालें; कैलकुलेटर इसे अंदर ही अंदर रेडियन में बदल लेता है।
क्या यह अधिक कोण (obtuse) वाले त्रिभुज भी हल कर सकता है? हाँ। 90° से बड़े कोणों के लिए \(\cos(C)\) ऋणात्मक हो जाता है, जिससे भुजा c सही रूप से लंबी निकलती है।
