Kosinüs Teoremi Nedir?
Kosinüs teoremi, herhangi bir üçgenin üç kenar uzunluğunu, açılarından birinin kosinüsüne bağlar. Aslında Pisagor teoreminin genelleştirilmiş halidir: aradaki açı 90° olduğunda kosinüs terimi sıfırlanır ve formül \(c^2 = a^2 + b^2\) şekline iner. Bu nedenle, iki kenarı ve bunların arasındaki açıyı bildiğiniz durumlarda (yani KAK – kenar-açı-kenar durumunda) üçgeni çözmek için ilk başvurulan araçtır.
Bu Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
Bilinen iki kenar uzunluğunu, a ve b, ve aralarındaki C açısını (bu iki kenarın arasında kalan açı, derece cinsinden) girin. Hesaplayıcı; üçüncü kenar c değerini, kalan A ve B açılarını ve üçgenin alanını döndürür. C açısı 0° ile 180° arasında olmalıdır.
Formülün Açıklaması
Temel denklem şudur: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$ Karekökünü alarak c kenarını bulursunuz. Üç kenar da bilindiğinde, kalan açılar aynı teoremi yeniden düzenleyerek hesaplanır: $$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ Üçgenin alanı ise KAK formülüyle bulunur: $$\text{Alan} = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(C)$$
Örnek Çözüm
Diyelim ki \(a = 5\), \(b = 7\) ve \(C = 60°\). Bu durumda $$c^2 = 25 + 49 - 2(5)(7)\cdot\cos(60°) = 74 - 70(0{,}5) = 74 - 35 = 39$$ olur, yani \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\). Alan ise $$\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) = 17{,}5 \times 0{,}8660 \approx 15{,}16$$ olarak hesaplanır.
Sıkça Sorulan Sorular
Sinüs teoremi yerine kosinüs teoremini ne zaman kullanmalıyım? Kosinüs teoremini KAK (iki kenar ve aralarındaki açı) ya da KKK (üç kenar) problemlerinde kullanın. Bir açı ile onun karşısındaki kenar elinizde olduğunda ise sinüs teoremini tercih edin.
Açı hangi birimde girilir? Açıyı derece cinsinden girin; hesaplayıcı bunu kendi içinde radyana çevirir.
Geniş açılı üçgenlerde de çalışır mı? Evet. 90°'den büyük açılarda \(\cos(C)\) negatif olur ve bu da c kenarının doğru şekilde daha uzun çıkmasını sağlar.
