¿Qué es el teorema del coseno?
El teorema del coseno relaciona la longitud de los tres lados de cualquier triángulo con el coseno de uno de sus ángulos. Es una generalización del teorema de Pitágoras: cuando el ángulo comprendido mide 90°, el término del coseno se anula y la fórmula se reduce a \(c^2 = a^2 + b^2\). Por eso resulta la herramienta ideal para resolver triángulos cuando conoces dos lados y el ángulo que forman entre ellos (el caso LAL, lado-ángulo-lado).
Cómo usar esta calculadora
Introduce las longitudes de los dos lados conocidos, a y b, junto con el ángulo comprendido C (el ángulo que forman esos dos lados, en grados). La calculadora te devuelve el tercer lado c, los dos ángulos restantes A y B, y el área del triángulo. El ángulo C debe estar comprendido entre 0° y 180°.
La fórmula explicada
La ecuación principal es $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$ Calcula la raíz cuadrada para obtener el lado c. Una vez conocidos los tres lados, los ángulos restantes se obtienen reordenando el mismo teorema: \(\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\). El área del triángulo se calcula con la fórmula LAL: $$\text{Área} = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(C)$$
Ejemplo resuelto
Supongamos que a = 5, b = 7 y C = 60°. Entonces $$c^2 = 25 + 49 - 2(5)(7)\cos(60°) = 74 - 70(0{,}5) = 74 - 35 = 39$$ de modo que \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\). El área es \(\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) = 17{,}5 \times 0{,}8660 \approx 15{,}16\).
Preguntas frecuentes
¿Cuándo conviene usar el teorema del coseno en lugar del teorema del seno? Usa el teorema del coseno en problemas LAL (dos lados y el ángulo comprendido) o LLL (los tres lados). Recurre al teorema del seno cuando dispongas de un ángulo junto con el lado opuesto a ese ángulo.
¿En qué unidades se introduce el ángulo? Introduce el ángulo en grados; la calculadora lo convierte internamente a radianes.
¿Funciona con triángulos obtusángulos? Sí. Para ángulos mayores de 90°, el \(\cos(C)\) es negativo, lo que hace que el lado c resulte correctamente más largo.
