ما هو قانون جيب التمام؟
يربط قانون جيب التمام بين أطوال أضلاع أي مثلث وجيب تمام إحدى زواياه. وهو تعميم لنظرية فيثاغورس؛ فعندما تكون الزاوية المحصورة قائمة (90°) يتلاشى حد جيب التمام وتتحول المعادلة إلى \(c^2 = a^2 + b^2\). لهذا السبب يُعدّ الأداة المثالية لحل المثلثات عندما تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (حالة ضلع–زاوية–ضلع أو SAS).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل طولَي الضلعين المعلومين a وb، ثم الزاوية المحصورة C (الزاوية الواقعة بين هذين الضلعين، بالدرجات). تُرجع الحاسبة الضلع الثالث c، والزاويتين المتبقيتين A وB، إضافة إلى مساحة المثلث. يجب أن تكون الزاوية C محصورة بين 0° و180°.
شرح القانون
المعادلة الأساسية هي $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$ استخرج الجذر التربيعي للحصول على الضلع c. وبعد معرفة الأضلاع الثلاثة جميعًا، تُحسب الزاويتان المتبقيتان بإعادة ترتيب القانون نفسه: \(\cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)\). أما مساحة المثلث فتُحسب بصيغة SAS: \(\text{المساحة} = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(C)\).
مثال محلول
لنفترض أن a = 5، وb = 7، وC = 60°. عندئذٍ $$c^2 = 25 + 49 - 2(5)(7)\cos(60°) = 74 - 70(0.5) = 74 - 35 = 39$$ أي أن \(c = \sqrt{39} \approx 6.245\). وتكون المساحة \(\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) = 17.5 \times 0.8660 \approx 15.16\).
الأسئلة الشائعة
متى أستخدم قانون جيب التمام بدلًا من قانون الجيوب؟ استخدم قانون جيب التمام في حالات ضلع–زاوية–ضلع (SAS) أو ثلاثة أضلاع (SSS). أما قانون الجيوب فيُستخدم عندما تعرف زاوية والضلع المقابل لها.
ما وحدة قياس الزاوية المطلوبة؟ أدخل الزاوية بالدرجات، وتقوم الحاسبة بتحويلها إلى الراديان داخليًا.
هل تتعامل مع المثلثات المنفرجة؟ نعم. عندما تتجاوز الزاوية 90° تصبح قيمة \(\cos(C)\) سالبة، وهو ما يجعل طول الضلع c أكبر بشكل صحيح.
